Si u et v sont les racines  distinctes de X² + aX + b  ( qui s'écrit donc (X - u)(X - v))  tu fais le raisonnement suivant ;
si y est une solution de y"  + ay '+ by = 0 alors  z = y ' - uy vérifie z ' - v.z = 0  donc il existe  un réel c  tel que z : x   c.exp(vx) et donc y ' - uy = c.exp(vx) .
Tu sais en déduire y .

Je ne comprends rien

Moi je dirais : Mais je ne comprends pas où introduire les

Ça sort d'où le "alors  z = y ' - uy vérifie z ' - v.z = 0" ?

Bonjour,
Ça sort d'un petit calcul :
Si z = y' - uy alors z' = ... = vz .

Les lettres u et v pour désigner les racines, c'est plus facile à écrire que r₁ et r₂ .

Bonjour !
Tu mélanges deux choses différentes.
1. En cherchant les solutions de l'équation homogène de la forme tu trouves que doit être racine de l'équation caractéristique.
Ce qui te donne, si les racines sont distinctes, une base de solutions pour l'équation homogène.

2. Si tu connais UNE  solution de l'équation homogène (ce qui se passe si l'équation caractéristique a une racine double), tu peux trouver une autre solution de l'équation  sous la forme   : sera alors solution d'une équation d'ordre 1.

Il te reste alors à vérifier que tu obtiens ainsi une base de solutions.

Luzak je n'ai pas trop compris le sens de votre remarque.
Comment on sait qu'on peut trouver une solution sous la forme .

J'ai solution de   et

Ensuite je ne sais pas quoi faire

"Je te répète que la suggestion donnée s'applique au cas il y a une seule racine pour l'équation caractéristique. "
Pourquoi une seule racine ? Je ne comprends pas et je ne vois ça nulle part dans mon cours.

Dans mon cours, j'ai vu précédemment que :

Soit . La fonction est solution dans de l'équation homogène si et seulement si

Relis ce que j'ai écrit : " j " ce n'est pas ton cours .
1. S'il y a deux racines distinctes de l'équation caractéristique on a deux solutions qui forment une base.
2. S'il y a une seule racine on a UNE solution et on cherche une AUTRE solution (si possible indépendante de la précédente) sous la forme indiquée.

C'est très clair et il est inutile de me sortir des phrases de ton cours sans les comprendre, surtout si elles n'apportent aucune contradiction (révision de logique ?) avec ce que a été dit.

Ah d'accord. Donc je prends une solutions de l'équation caractéristique.

solution de si et seulement si est solution de si et seulement si :



Mais comment on sait si : ?

Ensuite :

Soit :

Donc :  

Or : (somme de racines d'une équation du second degré)

Et là je bloque pour exprimer

Si tu lisais ?
Le 2. est à utiliser lorsque l'équation caractéristique a une seule racine, qu'on note . La barbe avec tes quand il y a une seule racine.

J'ai suggéré que tu révises tes connaissances concernant les équations, niveau classe de  seconde, sûrement avant le niveau Sup.
Tu sembles connaître la somme des racines. Que peux-tu ajouter quand il y a une unique racine ?

Ramanujan
"  Il " se permet  de te rappeler que l'opérateur de dérivation ( sur le -ev  E formé des applications 2fois dérivable de vers )

est linéaire et que si  u et v sont les racines de X² + aX + b  alors D² + aD  + I = (D - u.I)(D - v.I)  ( I désignant l'application y y de E sur E )

R ésoudre l'ED   y"  + ay' + by  =  0  c'est donc trouver le noyau de   D² + aD  + I  .
Si y est dans ce noyau  le   z := y ' - v.y  ( que je sors ) est dans le noyau de (D - u.I) donc  z ' - u.z = 0 .
Tu peux d'ailleurd remarquer que cette méthode marche même si u = v et même pour l'ED    y"  + ay' + by  =  f  ( si f est convenable ) .

Je n'ai pas compris comment utiliser votre point 1, je n'ai pas de connaissances sur les bases.

Mais ma méthode marche, j'ai oublié un moins, on trouve :



Or :

Donc :  

Il suffit de poser :

Et on a l'inclusion voulue :

L'inclusion inverse étant trivial vu que et sont solutions de et d'après une proposition du cours, toute combinaison linéaires d'éléments de reste dans

@Etnopial
Vous partez dans des choses trop compliquées pour moi, je n'ai aucune connaissance en algèbre actuellement.
Je préfère rester sur des méthodes simples.

Et dans le cas où j'ai une racine double,  Soit la solution de

Alors

Donc : on obtient :

Donc et ainsi  

Enfin : avec

On a montré :

On est obligé de vérifié l'inclusion inverse ?

On t'a suggéré de trouver, il me semble, une condition nécessaire et suffisante !

Rappel : Compte tenu de la structure de l'ensemble des solutions, tu cherches UNE solution indépendante de la solution connue non nulle et il suffit de prendre .

Tu trouves alors une base de l'espace des solutions : .

encore faut-il savoir que la dimension de l'espace vectoriel des solutions est 2 ...

Si tu as trouvé un cours qui te fait réviser les équations différentielles linéaires d'ordre 2 sans parler (quitte à l'admettre) de l'espace vectoriel des solutions tu as un trésor ! Genre de livre à mettre au chaud dans une étagère, spécimen unique, un "collector" quoi !

Si il y a des remarques sur les espaces vectoriels en disant que ce sera démontré ultérieurement. Mais les démonstrations n'utilisent que des connaissances élémentaires sur la dérivation, les primitives et les nombres complexes. Aucune démonstration de ce chapitre n'utilise des connaissances sur les espaces vectoriels.

L'ensemble des solutions de l'équation différentielle est un   espace vectoriel de dimension 2 puisque ses éléments sont les combinaisons linéaires de deux solutions non proportionnelles. On dit que l'ensemble des solutions de l'équation homogène forme un plan vectoriel.

J'ai vérifié par le calcul que dans le cas où est une racine double :

est solution de

Si on pose



Or

Donc :  

Tes réponses montrent que tu n'as rien compris aux réponses que tu as données précédemment.

Vouloir vérifier que est solution après avoir écrit

Citation :
Je trouve : solution de si et seulement si est solution de

Pour montrer que toutes les sol sont de la forme



Tu peux utiliser le theoreme de Cauchy pour les équa diff dordre 2.
"Pour a,b donné il existe une unique solution y de E telle que y(0)=a et y'(0)=b"

Donc ici tu prends a et b arbitraires et tu montres quil y a un élément de E qui vérifie la propriété précédente

@Luzak

Oui il n'y a pas besoin de vérifié que est solution car on travaille par équivalence.

et   ne sont pas proportionnelles et forment une famille libre car si on a : , en prenant on obtient : . Puis en prenant , on en déduit donc la famille est libre.

Si j'ai montré que les solutions sont combinaisons linéaires ici :

est solution de si et seulement si est solution de
Dans le cas où l'équation caractéristique admet une racine double, alors les solutions de sont les fonctions :

Ainsi la fonction est solution de si et seulement si il existe des constantes telles que :

c'est-à-dire si et seulement si il existe des constantes telles que :