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Démonstration

Posté par
jrbrazza 10-04-20 à 14:39

Bonjour.

Dans une démonstration (diagonalisation de matrices carrées) dans mon manuel, on introduit deux matrices colonnes de taille 2 à coefficients dans \mathbb{R}, V=\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} et W=\begin{pmatrix} \gamma \\ \delta \end{pmatrix}, telles qu'elles soient proportionnelles. Puis, ils en déduisent que \alpha \delta -\gamma \beta=0. Pourtant, par exemple, les matrices \begin{pmatrix} 5\\ 0\end{pmatrix} et \begin{pmatrix} 0\\ 2\end{pmatrix} ne sont pas proportionnelles et 5*0-2*0=0.

Merci d'avance pour vos réponses.

Posté par
mtschoonre : Démonstration 10-04-20 à 14:42

jrbrazza, bonjour,

C'est (5\times 2)-(0\times 0)=10 qu'il faut faire.

Posté par
jrbrazzare : Démonstration 10-04-20 à 14:48

C'est pas ce qui est écrit sur mon manuel. On cherche à montrer que
P=\begin{pmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{pmatrix} est inversible.

Posté par
mtschoonre : Démonstration 10-04-20 à 14:56

jrbrazza, j'ai répondu à ta question

Dans l'exemple que tu proposes, le déterminant de ta matrice, c'est à dire \alpha\delta-\gamma\beta ne vaut pas 0, comme tu l'indiques .

Il est différent de 0 car il vaut 10.

\alpha=5,\beta=0,\gamma=0,\delta=2

Posté par
jrbrazzare : Démonstration 10-04-20 à 15:04

Ah oui, excusez-moi. Dans le cas où au moins un des quatre réels est nul, comment démontrer que si \alpha \delta -\gamma \beta =0 alors il y proportionnalité?

Posté par
mtschoonre : Démonstration 10-04-20 à 15:36

Pistes à expliciter :

\alpha\delta-\gamma\beta=0

\alpha\delta=\gamma\beta

En transformant avec la condition "dénominateurs non nuls"

\dfrac{\alpha}{\gamma}=\dfrac{\beta}{\delta}

soit k la valeur commune : \dfrac{\alpha}{\gamma}=\dfrac{\beta}{\delta}=k

d'où

\alpha=k\gamma
\beta=k\delta

Posté par
jrbrazzare : Démonstration 10-04-20 à 15:48

Et dans le cas où <<\gamma =0 ou \delta =0>>?

Posté par
jrbrazzare : Démonstration 10-04-20 à 16:13

?

Posté par
mtschoonre : Démonstration 10-04-20 à 16:23

Si au moins une de ces valeurs est nulle, tu ne mets pas sous forme de quotient.

Tu fais une discussion à partir de \alpha\delta=\gamma\beta

Je  te laisse faire.

Posté par
jrbrazzare : Démonstration 10-04-20 à 16:37

Mais justement, c'est sur ça que je bloque.

Posté par
jrbrazzare : Démonstration 10-04-20 à 17:36

?

Posté par
mtschoonre : Démonstration 10-04-20 à 18:11

Comme déjà dit, tu regardes ce qui se passe dans ces cas particuliers.

\alpha\delta=\gamma\beta

Si \delta=0

nécessairement , \gamma\beta=0 <=> \gamma=0 ou \beta=0

Pour   \gamma=0  les deux matrices colonnes sont

{\alpha} \choose {\beta} et {0} \choose {0}

Tu tires la conclusion

Pour   \beta=0  les deux matrices colonnes sont

{\alpha} \choose {0} et {\gamma } \choose {0}

Tu tires la conclusion

Posté par
jrbrazzare : Démonstration 10-04-20 à 19:25

Mais oui...
Merci beaucoup pour avoir répondu, mtschoon.

Posté par
mtschoonre : Démonstration 10-04-20 à 20:49

De rien jrbrazza et bon travail !

Posté par
carpediemre : Démonstration 10-04-20 à 21:00

salut

d'après mon cours de terminale des matrices colonnes sont des vecteurs (et même des matrices quelconques)

d'après mon cours de seconde les vecteurs u(a, b) et v(c, d) sont colinéaires s'il existe un réel k tel que v = ku <=> c = ka et d = kb <=> k = c/a = d/b <=> ad - bx = 0

(sous réserve d'existence des objets manipulés ...)


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