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Démonstration
Bonjour à tous,
J ai une DM de maths et un exercice qui s'intitule preuve de cours.
"Je vous ai donné le cours sur le tableau de variations d une fonction polynôme du 2nd degrés cependant nous ne l'avons pas démontré. Nous allons le faire ici dans un cas particulier, mais deux rappels s'imposent avant:
Definition: une fonction f est dite :
-croissante sur un intervalle I si pour tous x et y dans I , si x <ou égal y alors f(x) inférieur ou égal f(y).
Autrement dit La fonction f conserve l ordre et graphiquement la courbe "monte".
-décroissante sur un intervalle I si pour tout x et y dans I , si x inférieur ou égal y alors f(x) supérieur ou égal f(y).
Autrement sur la fonction f changé l ordre et graphiquement la courbe "descend".
Propriété : la fonction f qui associé x à x² est décroissante sur ]-infini ; 0] et croissante sur [0;+infini[ . Autrement dit:
-pour x et y négatifs si x inférieur ou égal y alors x² supérieur ou égal y²
-piur x et y positifs si x inférieur ou égal y alors x² inférieur ou égal y².
Considérons ici la fonction f définie sur R par f(x)=(x-1)²+2. Nous voulons donc montrer que elle est décroissante sur ]-infini;1] et croissante sur [1;+ infini [.
1) Fixons nous x et y dans]-infini;1] on suppose suppose x inférieur ou égal y.
A) montrer que x-1 inférieur ou égal y-1 inférieur ou égal 0.
Vu que c est compris dans -infini les nombres seront forcément négatifs mais je ne sais pas comment le formuler.
Merci d avance pour vos réponses.
Merci pour votre réponse.
La prochaine question est
En utilisant les variations de la fonction qui associé x à x² montrer que alors (x-1)²supérieur ou égal à (y-1)².
Comme une fonction au carré est toujours positive je peux dire que x² inférieur ou égal à y donc (x-1)²supérieur ou égal à (y-1)² je ne sais pas vraiment
Merci beaucoup
A prochaine question étant
En déduire que f(x)supérieur ou égal f(y) et donc que la fonction f est décroissant sur ]-infini;1]
Pour sa je remplace juste f(x) Et f(y) par (x-1)² et (y-1)² ?
Merci beaucoup pour votre réponse !!
La prochaine question étant :
en suivant la même démarche, en prenant cette fois ci x et y dans [1;+infini[ , montrer que f est croissante sur [1; +infini[
Je fair la meme chose avec x et y
x>y>1 (supérieur ou egal)
Ensuite je fait une inégalité
Je rajoute d abord -1 à tout les termes
Puis je met tous les termes au carré
Puis j'ajoute 2 à tous les termes pour ensuite avoir f(x)inférieur à f(y) ?
On garde le même ordre
Par rapport à la dernière ligne de l'inéquation où on a
0<ou= (x-1)² <ou= (y-1)²
Et que on ajoute 2 à (x-1)² et (y-1)² pour quoi on ajoute 2 à ces deux termes et pas à zéro ?
De rien
Vous avez pu compter vos lapins ?
Non je n'ai pas réussi à compter mes lapins, je pense que je vais demander au lycée lundi la calculatrice de quelqu un pour les compter
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