Si ne prends n=3, pour rester sur des nombres assez petits :
n^2=9
(n^2)!=9*8*7*6*5*4*3*2
n!=6
(n!)^n=6*6*6
Ok, pour n=3, c'est un entier ... et pour le vérifier, je ne calcule pas l'entier en question, je constate qu'au dénominateur, on a 2^3 et 3^3
Et au numérateur, on a bien 3 fois le facteur 2 ( et même plus) et 3 fois le facteur 3 ( et même plus).
Bon, la propriété semble vraie. Et on a un vague début d'idée sur la démarche à suivre.
Pour la démontrer, ça va être beaucoup plus compliqué.
Il faut décomposer le dénominateur en produit de facteurs premiers. Et regarder pour chaque facteur premier, si le numérateur convient.
En terminale, ça me paraît très compliqué.
Le mot clé, pour tes recherches sur ce sujet, c'est Valuation P-adique.