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Niveau calculatrices
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Démonstration algébrique de la distributivité

Posté par
lonico
11-01-15 à 18:56

Bonjour,
Je me pose la question de savoir comment démontrer de manière algébrique les basiques formules de la distributivité :
(a+b)*k = ka+kb
(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + dc
Mais également celle-ci :
(a*b)^k = a^k * b^k

Une illustration géométrique existe déjà pour les deux premières formules:


Je cherche donc une démonstration purement calculatoire capable de démontré autant la formule (a+b)*k autant (a*b)^k.

(a,b,c,d,k)

P.S.: Existe-il une formule pour (a*b)^(c*d) ?
P.S.S.: Ces formules sont-elles toujours valable si l'une des variable appartient à ?
En effet, si l'on considère l'illustration ci-dessus comme étant une démonstration, on ne verra jamais un coté de valeur irréel.

Posté par
Wataru
re : Démonstration algébrique de la distributivité 11-01-15 à 19:25

Salut,

Tu nous demandes de montrer 1 + 1 = 2 ou presque.
On peut avoir des intuitions, on peut voir ça géométriquement, mais le démontrer rigoureusement c'est une autre paire de manche car ça a été fait à l'envers.
C'est parce qu'on a remarqué que la multiplication était distributive sur l'addition qu'on a inventé ce terme et cette propriété.
Il faut bien se dire que l'addition et la multiplication ça a d'abord été des opérations concrètes avant d'être formalisé, et la notion de distributivité n'a été formalisée que des siècles après. Du coup pour le démontrer clairement, il faudrait avoir une véritable définition de l'opération "+", une définition complète et qui ne soit pas une tautologie.

Après on peut essayer de voir la multiplication comme un dérivé de la multiplication (même si ça a largement dépassé le cadre quand même)
Ainsi (a+b)*k c'est juste (a+b)+(a+b)+...+(a+b), (a+b) étant additionné k fois.
Du coup si on modifie l'ordre des termes on a :
(a+b)*k = (a+a+...+a) + (b+b+...+b) = a*k + b*k

Mais là encore ça n'a vraiment du sens que si k est un entier, si on place un réel quelconque après on pourrait se demander ce que ça veut dire d'additionner (a+b) pi-fois par exemple. Et ça demande aussi de savoir que a et b commutent si on considère l'addition, bref... Montrer cette égalité suppose beaucoup de choses.

Bref, un peu trop de blabla pas intéressant sur le coeur des mathématiques et sur le fait qu'on puisse pas vraiment définir + et x car on sait ce que c'est par intuition plus qu'autre chose.

Pour (a*b)^(c*d) c'est simple, t'as (a*b)^(c*d) = a^(c*d)*b^(c*d) et après...

Ces formules sont toujours valables si l'une des variables est complexe, tu peux le vérifier en posant z = a +ib et en faisant le calcul. Et encore une fois... Une démonstration géométrique est toujours limité car elle aura du mal à couvrir beaucoup de choses. Intuitivement a x sqrt(2) ça veut pas dire grand chose et pourtant on a poussé la multiplication et son concept jusqu'à ce que mathématiquement ça veuille dire quelque chose. Pareil pour les complexes plus ou moins, intuitivement c'est pas vraiment facile de voir les complexes, mais mathématiquement ils sont là. Du coup c'est pas parce qu'on peut pas faire un côté de longueur i que i n'existe pas, c'est pas une bonne raison de ne pas croire en leur existence, et donc à fortiori de ne pas croire qu'ils peuvent respecter la règle de distributivité.

J'ai fait un message trop long... Désolé

Posté par
carpediem
re : Démonstration algébrique de la distributivité 11-01-15 à 23:45

salut

il faut voir que derrière tout ça se cachent les structures de groupe et d'anneau .... et même de corps ... peut-être ...

on commence par k entier (comme Wataru) puis ensuite k = p/q puis ensuite k réel ....

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