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Niveau Licence Maths 1e ann
Démonstration application bijective d'un ensemble fini
Posté par kaboum
Hello,
Je suis en train de repasser les propriétés des ensembles fini et je galère pas mal sur une démo (notamment sur les notations). La voici
Dans la démo il est supposé(i)
(ii): "Supposons f injective. Alors Card f(E) = Card E = Card F. Ainsi f(E) est un sous-ensemble de F ayant le même cardinal que F, cela entraine f(E) = F et donc f est surjective. "
Mon souci est que je ne comprends pas Card f(E) = Card E = Card F. De ce que je comprends, si F est injective, alors Card E
Card F.
1)Pourquoi passe-t-on à une égalité stricte sachant qu'un élément de F peut ne pas avoir d'antécédant dans E (injection)
2) Que signifie la notation Card f(E)?
Merci de votre aide !
Bonjour,
Si f est injective, alors tu peux facilement vérifier que , c'est-à-dire la fonction
,
est une bijection.
Donc
Bonjour
On suppose que . Si
est injective alors elle est surjective, donc
. Mais alors
est bijective donc
.
Personne n'a jamais dit qu'une injection n'a pas le droit d'être surjective!
est le cardinal de l'ensemble
. J'espère que tu as une définition d'un cardinal d'ensemble!
Non, on veut montrer que les trois proposition sont équivalentes. Pour ce faire, on montre que entraine
et que
entraine
La proposition peut être fausse. Par exemple, si
l'application
définie par
est injective sans être surjective.
Citation :
La proposition\Longrightarrow (ii))
peut être fausse. Par exemple, si 
l'application 
définie par =2n)
est injective sans être surjective.
La proposition
Merci WilliamM007
On se place évidemment dans les hypothèses du Théorème. Et dans ce cadre, je maintiens ce que j'ai dit.