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Démonstration (applications PCSI)
J'ai cet exercice à faire, je dois démontrer deux relations mais j'ai du mal si vous pouviez m'aider ce serait gentil,merci bcp!
Démontrer que si A B et C sont trois ensembles, on a:
a) A"inter"(B"union"C)=(A"inter"B)"union"(A"inter"C) (distributivité de "inter" par rapport à "union")
b) A"union"(B"inter"C)=(A"union"B)"inter"(A"union"C) (distributivité de "union" par rapport à "inter")
(pour chacune des relations on montrera la double inclusion)
Bonjour,
Tu peux raisnner par double inclusions. Pour la 1):
Soit x dans A"inter"(B"union"C)
donc, par définition, les deux propositions suivantes sont vraies:
- x appartient à A
- x appartient à "B union C"
Comme x est dans "B union C", il est dans B ou dans C (ou dans les deux !)
- si x est dans B, comme il est aussi dans A, il est dans "A union B"
- si x est dans C, comme il est aussi dans A, il est dans "A union C"
Dans tous les cas, x est au moins dans un des deux ensembles "A union B" ou "A union C"
donc x est dans (A"inter"B)"union"(A"inter"C)
Soit x dans (A"inter"B)"union"(A"inter"C)
il reste plus qu'à montrer que x est alors dans A"inter"(B"union"C)
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