Niveau IUT/DUT

Démonstration arctan(-x)=-arctan(x)

Posté par
Fran44 12-11-17 à 15:20

Bonjour comme vous l'avez lu dans le titre je cherche à démontrer que pour tout réel x appartenant à R , arctan(-x)=-arctan(x) , mais aussi que pour tout x appartenant à l'intervalle [-1,1] arcsin(-x)=-arcsin(x) , je ne vois pas comment démontrer ceci si quelqun peut m'aider !

Posté par re : Démonstration arctan(-x)=-arctan(x) 12-11-17 à 16:30

Bonjour,

C'est immédiat en revenant aux interprétations géométriques du sinus et de la tangente sur le cercle trigonométrique.

C'est également immédiat sur les développements en série entière, si elles sont à ton programme.

Posté par re : Démonstration arctan(-x)=-arctan(x) 12-11-17 à 17:07

Si u = arctan(-x) et v = -arctan(x) on a : tan(u) = -x et tan(v) = tan( -arctan(x)) = - tan( arctan(x)) = -x donc tan(u) = tan(v) etcomme u et v sont dans ]/2 , /2[ sur lequel tan est injective , on a : u = v .

Tu fais la même chose pour sin et Arcsin .

Posté par re : Démonstration arctan(-x)=-arctan(x) 12-11-17 à 17:23

Bonjour,

Revois ton cours: $f(x)=\arctan(x)$ ; Domaine de définition et parité.

Posté par re : Démonstration arctan(-x)=-arctan(x) 13-11-17 à 11:16

Merci beaucoup !

Posté par re : Démonstration arctan(-x)=-arctan(x) 13-11-17 à 17:11

Bonjour

Et quand on n'a vraiment pas d'idées, on étudie la différence

$\forall x\in [-1,1],\varphi (x)=arcsin(-x)+arcsin(x)$

Fonction qui va être constante sur l'intervalle, à déterminer.
Si c'est bien fait ça prend 30 secondes.