bonsoir Alkhawarizmi
(2n+3)=(2n+1)*1+2  --> pgcd(2n+3,2n+1)=pgcd(2n+1,2)
(2n+1)=2*n+1      --> pgcd(2n+1,2)=pgcd(2,1)
et pgcd(2,1)=1 car 1/2

Merci machin,

simple, clair et précis, t'es trop fort.

Et c'est possible de le résoudre de manière différente? sans nécessairement utiliser l'algorithme d'Euclide?

Pour le fun j'avais essayer par l'absurde mais j'ai très vite bloqué...

bonsoir encore Al-khwarizmi
oui c possible,par exemple via theoreme de Bezout;
on a bien: -n(2n+3)+(n+1)(2n+1)=1
donc ils sont premiers entre eux

tu peux me donner le théorème de bézout si t'en a encore le courage? parce que j'ai pas vu ce théorème au cours...

Merci

Théorème de Bezout, d'après mes souvenirs:

Soient a et b deux entiers relatifs non nuls.
a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe deux entiers u et v tels que au + bv = 1.


Amicalement,


David.

enregistré! Merci David

bonsoir Alkhawrizmi
Bezout c ce qu'a ennoncé Mr.Blackdevil

Oups, sorry, merci Blackdevilet à toi aussi machin (non mais...! )

amicalement

Al Khwarizmi

On peut aussi très bien le prouver par l'absurde.
Soit i le premier de ces nombres impairs et k=pgcd(i,i+2).

donc

On en déduit que k est égal à 1 ou à 2, mais comme il ne peut pas être égal à 2 (i est impair) il est égal à 1 et i et i+2 sont premiers entre eux.

Fractal

de manière générale, on a (a,b)= (a, ka +b) où k est entier, (a,b) désignant le PGCD. En effet, si on pose a = da' et b = db' avec d PGCD de a et b, alors ka + b= d(ka' + b') et on doit montrer que a' et ka' + b' sont premiers entre eux, or d'après Bézout, il existe u et v tels que ua' + vb'=1 donc si on pose u'= u- vk, on a u'a' + v (ka' + b')= ua' + vb' =1 donc il existe u' et v entiers vérifiant Bézout donc a et ka' + b' sont premiers entre eux.
Au fait, en passant, l'identité de bézout générale est ua + vb = k PGCD pour ua + vb positifs.

j'oubliais de dire que d'après ce lemme, on a (2a+1, 2a+3) = (2a+1, 2a+3 - (2a +1))=(2a+1,2)=1.