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démonstration arithmétique
Posté par leawz
bonsoir, pourrriez vous m'aider sur cet exercice s'il vous plait?
montrer que si a,b et c sont trois nombres premiers strictement supérieurs à 3, alors le nombre (a-b)(b-c)(c-a) est un multiple de 48.
Bonsoir,
Commence par décomposer 48 en produits de facteurs premiers.
Ensuite, remarque que a-b, b-c, c-a sont pairs, tu auras un début de solution.
Essaie de continuer à partir de là...
C'est exactement la où j'en suis dans mes recherches
J'ai 48=2*2*2*2*3
Et j'avais aussi compris que a-b, etc.. étaient pairs, mais je ne vois pas ce que je peux faire de cette information pour continuer
salut
on peut remarquer que tout nombre premier strictement supérieur à 3 s'écrit
et que parmi trois nombres premiers il y en a au moins deux qui s'écrivent de la même manière ...
Merci pour vos réponses.
Modulo 3, j'obtiens que a b ou c sont congrus à 1 ou à 2
Et modulo 4, congrus à 1 ou 3 (sauf erreur de ma part)
Par contre je ne sais pas quoi fait de l'information que des nombres premiers s'écrivent 6k+1 ou 6k-1
Ils sont donc congrus à 1 ou 5 modulo 6, mais que faire de cette information ?
Modulo 4, 3 ou 6, le résultat est le même :
Les trois entiers a, b et c sont congrus à +1 ou -1.
Et
Citation :
il y en a au moins deux qui s'écrivent de la même manière ...
il y en a au moins deux qui s'écrivent de la même manière ...
oui! pour la suite, si on peut écrire que a b et c sont congrus à +/-1 modulo 6 alors l'une des 3 différences sera multiple de 6? car elle sera congrue à 0? et les deux autres serait congrues à -2 ou 2 modulo 6, donc des multiples de 2 non? mais comment arriver à un multiple de 48?
par contre je ne sais pas s'il faut que je raisonne plutôt modulo 3, 4 ou 6
(je ne suis pas non plus sûr de ce que je dis et mon raisonnement est peut être faux, je m'en excuse d'avance)
En raisonnant modulo 3 puis modulo 4, ça marche.
C'est peut-être plus rapide modulo 6. Mais je ne vois pas.
je vois, bon alors j'ai a-b congrus soit à 0 (ce qui donne un multiple de 3), soit à +/-2 (ce qui équivaut à congrus à +/-1 comme on résonne modulo 3) .
Modulo 4, on a a-b également congrus soit à 0, soit à +/-2 (ce qui revient au même modulo 4). on obtient donc un multiple de 4 et dans les deux autres cas des multiples de 2.
est-ce cela? je ne sais par contre pas comment utiliser l'info que deux des trois nombres s'écrivent de la même manière...
(et j'ignore également quoi faire de l'info que a-b peut être congru à +/-1 modulo 3)
Avec k égal à 3, 4 ou 6.
Les trois entiers a, b et c sont congrus à +1 ou -1 modulo k.
Je sépare en 3 cas :
a) Soit aucun congrus à +1 ; donc tous les trois congrus à -1. Les différences sont congrues à 0.
b) Soit un seul congru à +1 ; donc les deux autre congrus à -1. la différence de ces deux là est congrue à 0.
c) Soit au moins deux congrus à +1 ; leur différence est congrue à 0.
Dans tous les cas, il y a au moins une différence congrue à 0, donc multiple de k.
compris! donc si dans tous les cas une des trois différences est multiple de k, le produit sera multiple de 3*4*6=72. c'est bien cela? mais comment arriver au multiple de 48?
Non, ce n'est pas ça.
D'abord on peut être multiple de 3, 4 et 6 sans être multiple du produit des trois.
PPCM tu connais ?
J'ai proposé d'utiliser 3 et 4.
carpediem a proposé d'utiliser 6.
Ne mélange pas les deux.
N'oublie pas ce qui a déjà été démontré au début : Toutes les différences sont paires.
ah d'accord, je pensait au produit des 3 car on a (a-b)(b-c)(c-a), donc justement un produit de 3 termes. mais en fait on a juste au moins une différence congrue à 3, 4 ou 6. ca jai compris maintenant!
et pour le ppcm, il faudrait donc chercher le plus petit multiple commun à 3 et 4 ? c'est 12... et je suis désolée mais je ne comprends pas comment utiliser le fait que les différences sont paires...
désolé je suis un petit peu perdue
c'est ce que je me suis dis, il vaut mieux que je prenne le temps
j'essaierai de chercher un petit peu ce soir..
merci pour votre aide!
il est évident que la différence de deux impairs est pairs et donc de même pour des premiers supérieurs à 5 ...
que ce soit modulo 3 ou 6 on montre comme l'a détaillé Sylvieg qu'une différence et multiple de 6
carpediem @ 15-02-2021 à 09:32
on peut remarquer que tout nombre premier strictement supérieur à 3 s'écrit
et que parmi trois nombres premiers il y en a au moins deux qui s'écrivent de la même manière ...
permet de conclure immédiatement que p = (a - b) (b - c) (c - a) est multiple de 24 et il faut aller chercher encore un facteur 2
on peut remarquer que tout nombre premier strictement supérieur à 3 s'écrit
et que parmi trois nombres premiers il y en a au moins deux qui s'écrivent de la même manière ...
supposons que les facteurs a - b et b - c (qui sont pairs) soient multiples de 2 mais pas de 4
remarquer alors que c - a = c - b + b - a
...
J'ai utilisé le fait que (a-b)(b-c)(c-a) était le produit de trois multiples de 2 (car pairs), dont l'un au moins était multiple de 4 et dont un autre était multiple de 3 (et donc de 2 a la fois). (Ce que j'ai démontré grâce à l'aide de Silvieg)
On a donc le produit d'un nombre uniquement multiple de 2, d'un multiple de 4, et d'un multiple de 2 et de 3. D'où le multiple de 48. Est-ce juste?
leawz @ 16-02-2021 à 20:05
J'ai utilisé le fait que (a-b)(b-c)(c-a) était le produit de trois multiples de 2 (car pairs), dont l'un au moins était multiple de 4 et dont un autre était multiple de 3 (et donc de 2 a la fois).
preuve ?J'ai utilisé le fait que (a-b)(b-c)(c-a) était le produit de trois multiples de 2 (car pairs), dont l'un au moins était multiple de 4 et dont un autre était multiple de 3 (et donc de 2 a la fois).
Sylvieg @ 15-02-2021 à 12:10
Avec k égal à 3, 4 ou 6.
Les trois entiers a, b et c sont congrus à +1 ou -1 modulo k.
Je sépare en 3 cas :
a) Soit aucun congrus à +1 ; donc tous les trois congrus à -1. Les différences sont congrues à 0.
b) Soit un seul congru à +1 ; donc les deux autre congrus à -1. la différence de ces deux là est congrue à 0.
c) Soit au moins deux congrus à +1 ; leur différence est congrue à 0.
Dans tous les cas, il y a au moins une différence congrue à 0, donc multiple de k.
Avec k égal à 3, 4 ou 6.
Les trois entiers a, b et c sont congrus à +1 ou -1 modulo k.
Je sépare en 3 cas :
a) Soit aucun congrus à +1 ; donc tous les trois congrus à -1. Les différences sont congrues à 0.
b) Soit un seul congru à +1 ; donc les deux autre congrus à -1. la différence de ces deux là est congrue à 0.
c) Soit au moins deux congrus à +1 ; leur différence est congrue à 0.
Dans tous les cas, il y a au moins une différence congrue à 0, donc multiple de k.
Ce raisonnement était pour 3,4 ou 6 il me semble