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Niveau terminale
Démonstration avec x^3
Posté par 
caramel76
caramel76Bonjour, j'ai une sorte de démonstration à faire et je suis un peu bloqué, pourriez-vous m'aider ?
Voici l'énoncé :
Démontrer qu'une équation du troisième degré du type x^3+bx²+cx+d=0 dans laquelle b,c,d sont des constantes réelles possède au moins une solution réelle.
Alors, j'ai commencé par dire que d'après Cardan, on peut écrire cette équation sous la forme : X^3+p*q. On a a=1 puisque il s'agit de X^3.
Ainsi, x = X-(b/3), p = (c/a)-(b²/3), q= (2b^3/27)+(d/a)-(bc/3)
Après, je suis bloqué et je ne suis même pas certain qu'il s'agisse de la bonne méthode...
Pour observer les limites en -oo et +oo, je dois prendre quelle forme ? Avec x^3+bx²+cx+d j'ai une F.I et pour Cardan je ne sais absolument pas comment faire... Une fois que j'aurais ça effectivement je pourrais facilement déterminer qu'il y a au moins une solution ...
En -oo on a donc -oo et en +oo on a +oo c'est ça ? Ainsi avec le corollaire du TVI je peux affirmer qu'il y a au moins une solution. Cependant, ai-je besoin de préciser que la fonction est continue et monotone ?
Tout d'abord tu dois étudier les variations de la fonction. Par exemple, x3 - x2 -x+1 n'est pas monotone et admet 2 solutions.
Une fois que tu as obtenu les variations de la fonction, choisis d'étudier la fonction sur un intervalle où elle s'annule. Par exemple avec f(x) = x3 - x2 -x+1, tu pourrais dire :
Sur ]-00 ; -1/3], la fonction f est continue car dérivable et strictement croissante.
f ( ]-00 ; -1/3] ) = ]-00 ; -1,19].
Or 0 appartient à ]-00 ; -1,19], donc d'après le corollaire du TVI, il existe c tel que f(c) = 0.
Donc la fonction f admet une solution réelle sur ]-00 ; -1/3] et donc au moins une solution sur R.
Je pense que pour ton cas tu peux te limiter à dire qu'elle est continue et que l'intervalle image est ]-00 ; +00[.
Or 0 appartient à ]-00 ; +00[, donc d'après le corollaire du TVI, il existe c tel que f(c) = 0.