1)

2.Angle(A) = angle(BOC)
et angle(MOC) = (1/2).angle(BOC)

-> angle(MOC) = angle(A)

Dans le triangle MOC: MC = OC.sin(MOC)
(a/2) = R.sin(A)

a/sin(A) = 2R
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3)

sin(A) = a/2R

on démontre pareillement que:
sin(B) = b/2R
et
sin(C) = c/2R

->
sin(A) + sin(B) + sin(C) = (a+b+c)/2R
sin(A) + sin(B) + sin(C) = 2p/2R
sin(A) + sin(B) + sin(C) = p/R
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3)
Pas le courage de chercher
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4)
sin(A) = a/2R
sin(B) = b/2R
sin(C) = c/2R
sin(A) * sin(B) * sin(C) = abc/(8R³)

Or par le point (2) , on a abc = 4RS
-> sin(A) * sin(B) * sin(C) = 4RS/(8R³)
sin(A) * sin(B) * sin(C) = S/(2R²)
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Sauf distraction.  

merci beaucoup J-P
mais il y a une chose que je n'ai pas comprise, dans le 1-; le point M il vient d'où?!

M est le milieu de [BC], il doit s'être perdu dans un copier-coller.

merci