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Niveau seconde
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démonstration d une identité trigonometrique

Posté par ruby1 (invité) 26-02-05 à 01:52

bonjour
on vous rappelon que
cos^2t + sin^2t = 1
1+ tan^2t=sec^2t ( tan=tangante,sec=secante)
1+cot^2t=csc^2t  (cot=cotangente,csc=cosecante)

qui peut démontrer l'équation suivante:
tan x + sec x -1   =   1+sin x
----------------       -------
tang x - sec x +1       cos x

Posté par
ma_cor
re 26-02-05 à 07:42

Bonjour.
Pour ton information, ce que tu donnes ne s'appelle pas une équation, mais une égalité.  On ne te demande pas de trouver la valeur d'une inconnue, mais de montrer qu'une expression donnée peut s'écrire autrement.
Trois méthodes sont à ta disposition :
- soit prendre le membre de gauche de l'égalité, le développer en utilisant les propriétés connues et aboutir au membre de droite;
- soit faire de même en partant du membre de droite pour aboutir à celui de gauche;
- soit développer les deux membres et aboutir à une égalité évidente.
Je te propose la première, c.-à-d.
\frac{tanx+secx-1}{tanx-secx+1}=\frac{\frac{sinx}{cosx}+\frac{1}{cosx}-1}{\frac{sinx}{cosx}-\frac{1}{cosx}+1}=\frac{\frac{sinx+1-cosx}{cosx}}{\frac{sinx-1+cosx}{cosx}}=\frac{sinx+1-cosx}{sinx-1+cosx} (*)
Il faut maintenant s'occuper du dénominateur en utilisant le produit remarquable (a-b)(a+b)=a2-b2.  Ainsi,
(*)=\frac{sinx+1-cosx}{sinx-1+cosx}.\frac{sinx+1-cosx}{sinx+1-cosx}=\frac{(sinx+1-cosx)^2}{sin^2x-(cosx-1)^2}=\frac{sin^2x+cos^2x+1+2sinx-2sinxcosx-2cosx}{sin^2x-cos^2x+2cosx-1}=\frac{2(1-sinxcosx-cosx+sinx)}{2cosx-2cos^2x} car cos^2x+sin^2x=1 et sin^2x-1=-cos^2x
=\frac{1-sinxcosx-cosx+sinx}{cosx(1-cosx)}=\frac{(1-cosx)+sinx(1-cosx)}{cosx(1-cosx)}=\frac{(1-cosx)(1+sinx)}{cosx(1-cosx)}=\frac{1+sinx}{cosx}:P

Posté par ruby1 (invité)re : démonstration d une identité trigonometrique 26-02-05 à 18:13

merci pour votre aide,mais

comment vous avez trouver que :
(1-cos x) + sin x(1-cos x) = (1-cos x)(1+sin x)

Posté par titimarion (invité)re : démonstration d une identité trigonometrique 26-02-05 à 18:15

Salut
cela vient du fait que si tu prends 3 nombres a,b etc
Alors ab+ac=a(b+c)
Ici tu as 1*(1-cos(x))+sin(x)*(1-cos(x))=(1+sin(x))(1-cos(x))



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