Bonsoir GabDesjardins.
Qu'est-ce-qu'une ?

Bonsoir!
Une matrice singulière est une matrice qui n'est PAS inversible.

Donc son déterminant est nul.
Tu as A² = A donc det(A²) = det(A) or det(A²) = ... donc ...

***citations inutiles supprimées***

Oui, si j'avais eu des chiffres c'est ce que j'aurais fait (calculer le déterminant) mais sans avoir de chiffre je ne sais pas comment je pourrais prouver que son det(A)=0

Tu dois faire une démonstration par l'absurde, pas manipuler des nombres.
Tu sais que A² = A et A I
Tu dois montrer que A est singulière. Donc tu supposes que A est régulière.
Si A est régulière, alors elle est inversible, donc si je note B l'inverse de A, j'ai BA² = BA et donc ...

D'accord, c'est ce que j'avais commencé par faire mais c'est par la suite que je bloque. Comment prouver que A n'est pas inversible avec BA^2=BA?

Si B est l'inverse de A alors comment peux-tu simplifier l'expression BA²=BA ?

Je peux dire que BA2 = I?

Non, si B est inverse de A alors BA² = A et donc A = I, ce qui est en contradiction avec le fait que A I.

conclusion : l'hypothèse A inversible n'est pas plausible et donc A n'est pas inversible.

C'est un faux raisonnement par l'absurde car on ne se sert pas du fait que A I.

En fait, on a montré que (A² = A et A inversible) implique A = I.
Donc, par contraposée, A I implique A non inversible si on garde l'idée que A² = A

Merci beaucoup je crois que je comprends! Mais dernière questions: nous disons que BA^2=A car BAA=IA n'est-ce pas?

non, BA² = BA car A² = A

Oui mais comment aller de BA^2=BA à BA^2=A

Désolé de ne pas comprendre

On ne va pas de BA² = BA à BA² = A on va de BA² = BA à A = I parce que B = A^-1

Ok j'ai compris, on dit la même chose tout les deux : oui BA² = A car BA² = BAA = IA = A

donc BA² = BA entraîne A = I

D'accord merci beaucoup de votre temps. J'ai compris grâce à vous.

Bonjour

Bien sûr, la démonstration par le déterminant est la meilleure. Mais comme elle a l'air de gêner notre demandeur, voilà une démonstration plus élémentaire.

On part de Soit l'application linéaire dont la matrice par rapport à une base est . Pour tout élément on a donc . Comme , il existe tel que , et donc n'est pas injective.