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Démonstration de calcul différentiel

Posté par
Pentachito
09-03-18 à 06:17

Soit f une fonction définie sur l'intervalle [0, 1], il faut demontrer que si f(0)=0 et |f'(x)|<=|f(x)| por tout x appartenant à [0, 1], alors f(x)=0 pour tout x apartenant à [0, 1]

Posté par
luzak
re : Démonstration de calcul différentiel 09-03-18 à 09:02

Bonjour à toi aussi !

Posté par
etniopal
re : Démonstration de calcul différentiel 09-03-18 à 10:04

Raisonne par l'absurde :
   Suppose qu'il existe  un intervalle J = ]a , b[ non vide contenu dans [0 , 1]  tel que    f(x) > 0   pour tout x de J .
   En utilisant  les applications g : x f(x)exp(x) et h : x f(x)   ( applications de J vers ) montre que quelque chose ne va pas

Posté par
Pentachito
re : Démonstration de calcul différentiel 10-03-18 à 02:50

Tout d'abord merci pour ton aide.
J'ai pensé au sujet et oui, en effet une démonstration par l'absurde peut être convenable. La seule chose que je ne comprend pas c'estla raison d'utiliser une fonction f(x)exp(x).

Posté par
etniopal
re : Démonstration de calcul différentiel 10-03-18 à 10:33


Suppose qu 'il existe  au moins un élément c de [0 , 1] tel que f(c) soit > 0  . La continuité de f implique qu'il existe des x [0 , c[ tel que f(t) soit > 0 pour tout t  de [x , c] .

Autrement dit  { x    [0 , c[ │ t [x , c]  on a : f(t) > 0 } est un ensemble non vide donc , étant minoré par 0 , admet une borne inférieure a 0 .
La continuité de f au point a  entraine qu'on a f(a) = 0 et f(x) > 0 pour tout x de   [0 , c[.

Sur [a , c[ on a :    |f '| f donc f ' f et -f ' f càd f ' - f 0 et f ' + f   0 .
  
Si g = f.exp et  h =  f/exp on a donc g '= ( f ' + f) exp  0  et h '  = (f' - f)/exp   0  ( toujours sur [a , c[  )  .
g est croissante sur  [a , c[ donc g(x) g(a)  = 0 et donc   f(x) 0  pour tout x de  [a , c[ .
h est décroissante sur  [a , c[  donc h(x) h(a) = 0 et donc f(x) 0 pour tout c de  [a , c[ .

On a obtenu une contradiction .

Rq : Si on a f   0 et s'il existe  au moins un élément c de [0 , 1] tel que f(c) soit <  0 , on remplace f par -f dans ce qui précède et c'est aussi contradictoire . .

Posté par
Pentachito
re : Démonstration de calcul différentiel 18-03-18 à 08:18

Merci beaucoup, votre démonstration est très belle.

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