Soit f une fonction définie sur l'intervalle [0, 1], il faut demontrer que si f(0)=0 et |f'(x)|<=|f(x)| por tout x appartenant à [0, 1], alors f(x)=0 pour tout x apartenant à [0, 1]
Raisonne par l'absurde :
Suppose qu'il existe un intervalle J = ]a , b[ non vide contenu dans [0 , 1] tel que f(x) > 0 pour tout x de J .
En utilisant les applications g : x f(x)exp(x) et h : x f(x) ( applications de J vers ) montre que quelque chose ne va pas
Tout d'abord merci pour ton aide.
J'ai pensé au sujet et oui, en effet une démonstration par l'absurde peut être convenable. La seule chose que je ne comprend pas c'estla raison d'utiliser une fonction f(x)exp(x).
Suppose qu 'il existe au moins un élément c de [0 , 1] tel que f(c) soit > 0 . La continuité de f implique qu'il existe des x [0 , c[ tel que f(t) soit > 0 pour tout t de [x , c] .
Autrement dit { x [0 , c[ │ t [x , c] on a : f(t) > 0 } est un ensemble non vide donc , étant minoré par 0 , admet une borne inférieure a 0 .
La continuité de f au point a entraine qu'on a f(a) = 0 et f(x) > 0 pour tout x de [0 , c[.
Sur [a , c[ on a : |f '| f donc f ' f et -f ' f càd f ' - f 0 et f ' + f 0 .
Si g = f.exp et h = f/exp on a donc g '= ( f ' + f) exp 0 et h ' = (f' - f)/exp 0 ( toujours sur [a , c[ ) .
g est croissante sur [a , c[ donc g(x) g(a) = 0 et donc f(x) 0 pour tout x de [a , c[ .
h est décroissante sur [a , c[ donc h(x) h(a) = 0 et donc f(x) 0 pour tout c de [a , c[ .
On a obtenu une contradiction .
Rq : Si on a f 0 et s'il existe au moins un élément c de [0 , 1] tel que f(c) soit < 0 , on remplace f par -f dans ce qui précède et c'est aussi contradictoire . .
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