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Démonstration de l'inégalité triangulaire

Posté par
Ken 30-11-12 à 12:00

Bonjour , je dois démontrer l'inégalité triangulaire en me basant sur le reste de l'exercice , c'est à dire :
1/ x + y |x| + |y|
2/ -(x + y) |x| + |y|

La consigne est : Déduire de la question précédente que : |x + y| |x| + |y|

J'ai pensé à plusieurs résolutions inachevées :
          Première :
|x|,|y| O pour n'importe quel x,y
Mais, |x+y| = |x|+|y| pour x,y ont le même signe : x,y > O et x,y < O on a |x+y|
(Je ne comprends pas ce que j'ai fait personellement...)
          Deuxième :
D'une part, pour n'importe quels x,y : x |x|, -x |x|, y|y|, -y |y|
D'autre part, x+y|x|+|y| et -(x+y)|x|+|y|
   donc |x+y|[x|+|y| car qu'ils soient positifs ou négatifs, leur valeur absolue est toujours
(Je ne vois pas comment j'ai pu arriver de "d'autre part" à "donc")

S'il vous plait j'ai besoin d'aide, merci beaucoup

Posté par
LeDinore : Démonstration de l'inégalité triangulaire 30-11-12 à 13:46

Si je comprends bien tu as déjà démontré (1) et (2) :
(x + y)    |x| + |y|
-(x + y)    |x| + |y|

Et on te demande d'en déduire :
|x + y|    |x| + |y|

Si c'est ça, alors c'est tout bête :
(1) et (2)    |x| + |y|    sup( x+y ; -x-y )  =  |x+y|

Posté par
Kenre : Démonstration de l'inégalité triangulaire 30-11-12 à 16:04

Mais je ne comprends toujours pas >.<
En fait c'est le

Citation :
sup( x+y ; -x-y )  =  |x+y|
que je ne comprends pas.
Merci pour ta réponse

Posté par
LeDinore : Démonstration de l'inégalité triangulaire 30-11-12 à 16:08

C'est la définition même de la valeur absolue.

|x| = x si x est positif et -x si x négatif
Donc :  |x| = sup( x ; -x )

Posté par
Kenre : Démonstration de l'inégalité triangulaire 30-11-12 à 16:17

Je crois avoir compris, mais j'ai un soucis de compréhension avec le sup : ca veut dire supérieur? Mais

Citation :
sup( x+y ; -x-y )
il y est 2 fois, je suis perdu
Merci

Posté par
LeDinore : Démonstration de l'inégalité triangulaire 30-11-12 à 16:46

sup( a ; b ) = "sup de a et b" = le plus grand des deux


Tu as fait le plus dur en montrant que |x|+|y| est plus grand que (x+y) et plus grand que -(x+y).
Parce que du coup, |x|+|y| est plus grand que le plus grand des deux.
Et le plus grand entre un nombre et son opposé :  c'est la valeur absolue de ce nombre. Donc |x|+|y| est plus grand que la valeur absolue de (x+y).

Posté par
Kenre : Démonstration de l'inégalité triangulaire 30-11-12 à 18:04

Je crois avoir compris! Merci
Donc en fait :
On sait que : x + y |x| + |y| et -(x+y) |x| + |y|
Alors, |x| + |y| |x+y|

C'est ca?

Posté par
LeDinore : Démonstration de l'inégalité triangulaire 30-11-12 à 18:16

Moué si on veut...
C'est vrai puisque c'est ce qu'on te demande de démontrer...
mais là tu ne le démontres pas, tu donnes le début et la conclusion...

Du coup ta question me trouble et m'inquiète vivement...
Si tu as compris mes explications tu ne devrais avoir aucun doute.
Comme tu as un doute quand même... ça m'intrigue.
J'en viens à m'interroger sur ton énoncé.
Qu'est-ce que tu as déjà démontré et qu'est-ce qu'on te demande de montrer ?

Posté par
Kenre : Démonstration de l'inégalité triangulaire 30-11-12 à 18:31

Ca ma paraissait bizarre, je me disais bien

Alors on demandait :
1)a) Démontrer que x + y l x l + l y l
b) Démontrer que -(x + y) l x l + l y l.

2) Déduire de la question précédente que :
l x + y l l x l + l y l

En fait c'est le fait que en sachant que x + y |x|+|y| on peut tout de suite transformer ça en valeur absolue que je ne comprends pas. Merci

Posté par
Kenre : Démonstration de l'inégalité triangulaire 30-11-12 à 18:32

PS : Avant on avait 2 questions mais c'était pour le a) donc j'ai pas mis.

Posté par
LeDinore : Démonstration de l'inégalité triangulaire 30-11-12 à 19:56

As-tu montré 1a et 1b ?

La démonstration que je t'ai donnée, et qui est assez évidente, porte sur la question 2 :  "en déduire..."

Si tu as déjà montré 1a et 1b, alors ma démonstration est OK.
Si tu n'as pas montré 1a et 1b, alors il faut le dire.

Posté par
LeDinore : Démonstration de l'inégalité triangulaire 30-11-12 à 19:58

Voir mon premier message qui est très clair :

Citation :
Si je comprends bien tu as déjà démontré (1) et (2) :
(x + y)    |x| + |y|
-(x + y)    |x| + |y|

Et on te demande d'en déduire :
|x + y|    |x| + |y|

Si c'est ça, alors c'est tout bête :
(1) et (2)    |x| + |y|    sup( x+y ; -x-y )  =  |x+y|


Et si c'est pas ça... alors je me demande bien ce que tu attends pour le dire !

Posté par
LeDinore : Démonstration de l'inégalité triangulaire 01-12-12 à 00:19

Citation :
En fait c'est le fait que en sachant que x + y |x|+|y| on peut tout de suite transformer ça en valeur absolue que je ne comprends pas.

Personne n'a dit qu'on pouvait transformer ça tout de suite.
Ce n'est clairement pas ce que j'ai fait en tout cas.
Bon comme t'as pas l'air de savoir faire tes lacets tout seul, je doute finalement que tu aies fait le 1a et le 1b .

Question (1a) :
|x|   x    et   |y|   y
  |x| + |y|   x + y

Question (1b) :
|x|   -x    et   |y|   -y
  |x| + |y|   -x - y

Question (2) :
|x| + |y|     (x + y)
|x| + |y|    -(x + y)

  |x| + |y|    sup( x+y ;  -(x+y) )  =  |x + y|
  |x| + |y|    |x + y|

Posté par
Kenre : Démonstration de l'inégalité triangulaire 02-12-12 à 18:07

Merci pour ta réponse
Pourtant malgré que j'aie fait le 1)a) et b), j'ai toujours un problème. Le

Citation :
sup( x+y ;  -(x+y) )
me gène, je ne l'ai jamais étudié ni rien, alors je ne peux ni l'utiliser et en plus je ne comprends pas sa signification. Mais, si j'ai bien saisi, ça veut dire qu'on prend le plus grand des deux entités dans la parenthèse, mais même si c'est ça je ne peux toujours pas l'utiliser

Posté par
LeDinore : Démonstration de l'inégalité triangulaire 02-12-12 à 20:58

Et le dire en français... tu crois que tu sauras faire ça ?

|x| + |y| est plus grand que -(x+y) et que (x+y)
Donc |x| + |y| est plus grand que le plus grand des deux
Or le plus grand de A et -A c'est |A|.
Donc |x| + |y| est plus grand que |x+y|.

Voila.
Comme ça pas d'horrible "sup" que tu n'as pas le droit d'utiliser sans risquer la prison, et que tu n'as pas compris... tout en le comprenant .

Et la prochane fois fais un effort de lecture, ça gagnera du temps pour tout le monde   (31/11 à 16h46...) :

Citation :
Tu as fait le plus dur en montrant que |x|+|y| est plus grand que (x+y) et plus grand que -(x+y).
Parce que du coup, |x|+|y| est plus grand que le plus grand des deux.
Et le plus grand entre un nombre et son opposé :  c'est la valeur absolue de ce nombre. Donc |x|+|y| est plus grand que la valeur absolue de (x+y).

Posté par
Kenre : Démonstration de l'inégalité triangulaire 02-12-12 à 23:58

Merci pour ton aide, et désolé j'ai vraiment mis du temps à tout comprendre. Mais au final j'ai compris, c'est pas le principal?
Tu m'as vraiment beaucoup aidé, merci encore

Posté par
LeDinore : Démonstration de l'inégalité triangulaire 03-12-12 à 09:52

Si tu y réfléchis avec un peu de recul, tu verras que tu as mis du temps parce que d'une part tu t'es fait une montagne de cette déduction et que d'autre part, tu n'as pas vraiment "cru" aux premières explications données et que tu n'y a pas vraiment mis toute ton énergie pour comprendre.

A réfléchir pour une prochaine fois ...


Pour mémoire mon deuxième message :
|x|+|y| est plus grand que (x+y) et plus grand que -(x+y).
Donc |x|+|y| est plus grand que le plus grand des deux.
Le plus grand entre un nombre et son opposé :  c'est la valeur absolue de ce nombre.
Donc |x|+|y| est plus grand que la valeur absolue de (x+y).

Posté par
Kenre : Démonstration de l'inégalité triangulaire 03-12-12 à 20:03

Bien vu, j'avoue. En fait je me suis imaginé une démonstration super bizarre, dure et tout, et finalement je vois que ça tiens en 4 lignes alors que moi j'avais cherché pas mal de temps, mais avec un mauvais angle d'attaque (très mauvais )
Je ne referai pas la même erreur 2 fois!
Encore merci de ta patience

Posté par
pikobrahmre : Démonstration de l'inégalité triangulaire 10-10-22 à 14:55

Bonjour à tous ; j'ai un exercice tout pareil à cet exercice mais seulement que il y a une 3eme et 4eme question qui sont:
Montrer que:
3) \left|x \right|+\left|y \right|\leq \left|x+y \right|+\left|x-y \right|
4) 1+\left|xy-1\leq \right1+\left(1+\left|x-1 \right| \right)\left(1+\left|y-1 \right| \right)
comment dois-je procéder? Merci d'avance !

Posté par
Camélia Correcteurre : Démonstration de l'inégalité triangulaire 10-10-22 à 15:26

Bonjour

3) Tu peux remarquer que x=(x+y)/2+(x-y)/2, et une relation analogue pour y.

Posté par
pikobrahmre : Démonstration de l'inégalité triangulaire 10-10-22 à 19:35

Bonsoir !
Quand je prends x =(x+y)/2+(x-y) ; y=(y+x)/2+(y-x)/2 et en remplaçant x et y par leur expression dans l'inéquation |x|+|y|>ou=|x+y| je n'arrive pas à aboutir au résultat final .

Posté par
pikobrahmre : Démonstration de l'inégalité triangulaire 11-10-22 à 01:14

Salut à tous !
Après tout voilà ce que je trouve
3)x=(x+y)/2+(x-y)/2 donc 2x=(x+y)+(x-y).
|2x|=2|x|=|(x+y)(x-y)|\leq|x+y|+|x-y|
De même:
|2y|=2|y|=|(x+y)+(y-x)|\leq|x+y|+|x-y| car |y-x|=|x-y| donc 2|x|+2|y|\leq2(|x+y|+|x-y|)
donc|x|+|y|\leq|x+y|+|x-y|.
4) je ne sais pas comment aborder d'abord

Posté par
Camélia Correcteurre : Démonstration de l'inégalité triangulaire 11-10-22 à 15:56

C'est ça, il y a une faute de frappe dans la deuxième ligne, il manque un +.

Posté par
carpediemre : Démonstration de l'inégalité triangulaire 11-10-22 à 17:29

salut

4/ se résume donc en |xy - 1| \le (1 + |x - 1|) ( 1 + |y - 1|)   en espérant que ce soit cela vu qu'il manque une barre de valeur absolue ... mais es-tu sûr de l'énoncé ?

et ne serait-ce pas tout simplement |xy - 1| \le 1 + (1 + |x - 1|) ( 1 + |y - 1|)   ?

xy - 1 = (x - 1)(y - 1) + x + y - 2= (x- 1)(y - 1) + x - 1 + y - 1 = [(x - 1) + 1] [(y - 1) + 1] - 1

il suffit de prendre la valeur absolue ...



RAP : x = x - 1 + 1 ety = y - 1 + 1

Posté par
pikobrahmre : Démonstration de l'inégalité triangulaire 13-10-22 à 00:41

Bonsoir à tous!
J'ai vérifié l'énoncé et j'en suis sûre c'est :
4) 1+\left(\left|xy-1\right| \right)\leq \left(1+\left|x-1 \right| \right)\left(1+\left|y-1 \right| \right)
Merci d'avance.

Posté par
carpediemre : Démonstration de l'inégalité triangulaire 13-10-22 à 09:04

des parenthèses sont inutiles dans le premier membre ...

mon post précédent te donne la réponse ...

Posté par
pikobrahmre : Démonstration de l'inégalité triangulaire 26-10-22 à 19:16

Bonsoir à tous.  Voilà ce que je vais pour conclure :
|xy-1|=|[(x-1)+1][(y-1)+1]-1|\leq |[(x-1)+1][(y-1)+1]|+1\leq(1+|x-1|)(1+|y-1|)+1
|xy-1|<|(1+|x-1|)(1+|y-1|) d'où1+|xy-1|\leq (1+|x-1|)(1+|y-1|
C'est bon j'espère n'est ce pas ?

Posté par
carpediemre : Démonstration de l'inégalité triangulaire 26-10-22 à 19:20

tu as la réponse ici :

carpediem @ 11-10-2022 à 17:29



xy - 1 = (x - 1)(y - 1) + x + y - 2= (x- 1)(y - 1) + x - 1 + y - 1 = [(x - 1) + 1] [(y - 1) + 1] - 1

il suffit de prendre la valeur absolue ...

Posté par
pikobrahmre : Démonstration de l'inégalité triangulaire 26-10-22 à 19:46

Oui j'ai pris la valeur absolue de ça ; ou bien c'est le raisonnement qui n'est pas bon ?

Posté par
carpediemre : Démonstration de l'inégalité triangulaire 26-10-22 à 19:49

ben c'est bon ...

Posté par
pikobrahmre : Démonstration de l'inégalité triangulaire 26-10-22 à 19:52

Ok merci beaucoup et à la prochaine.

Posté par
carpediemre : Démonstration de l'inégalité triangulaire 26-10-22 à 19:59

même si j'ai toujours un doute vis à vis de l'énoncé :

si c'est bien

pikobrahm @ 13-10-2022 à 00:41

J'ai vérifié l'énoncé et j'en suis sûre c'est :
1 + |xy - 1| \leq \left(1+\left|x-1 \right| \right)\left(1+\left|y-1 \right| \right)


car en prenant la valeur absolue dans xy - 1 = (x - 1)(y - 1) + x + y - 2= (x- 1)(y - 1) + x - 1 + y - 1 = [(x - 1) + 1] [(y - 1) + 1] - 1 on obtient :

|xy - 1| = \left| [(x - 1) + 1] [(y - 1) + 1] - 1 \right| \le [|x - 1| + 1] [|y - 1| + 1] + 1

donc 1 + |xy - 1|  \le [|x - 1| + 1] [|y - 1| + 1] + \red 2

Posté par
pikobrahmre : Démonstration de l'inégalité triangulaire 26-10-22 à 20:41

D'accord et encore merci beaucoup


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