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Démonstration de la somme des entier au cube ...;

Posté par
tissadu69
08-09-12 à 15:03

Bonjour à tous,
Je doit démontrer que pour tout 1


13 +23+ ...+n3 =\frac {n^2(n+1)^2^}{4}

Pour le moment j'ai fait ça :

Notons Pn la proposition :

13 +23+ ...+n3 =\frac {n^2(n+1)^2^}{4}

Démontrons que P1 est vraie
\frac {1^2(1+1)^2^}{4} = 1
Donc P1 est vraie.

Supposons que Pn est vraie

13 +23+ ...+n3+ (n+1)3 =\frac {n^2(n+1)^2^}{4}+(n+1)^3

(Je mets en facteur commun (n+1)2)

(n+1)^2[\frac {n^2}{4}+(n+1)]

(J'additionne \frac {n^2}{4}+(n+1))


(n+1)^2[\frac {n^2 + 4n + 4}{4}]

ET là je suis bloquer ....Vous pouvez m'aider svp ? merci

Posté par
rad
re : Démonstration de la somme des entier au cube ...; 08-09-12 à 15:06

Salut

t'y es presque
calcules (n+2)² pour voir ^^

Posté par
LeDino
re : Démonstration de la somme des entier au cube ...; 08-09-12 à 15:07

n²+4n+4 = (n+2)²   !

T'étais à deux doigts de conclure ...

Posté par
tissadu69
re : Démonstration de la somme des entier au cube ...; 08-09-12 à 15:09



(n^2+2n+1)[\frac {n^2 + 4n + 4}{4}]


Je multiplie les deux termes ?

Posté par
tissadu69
re : Démonstration de la somme des entier au cube ...; 08-09-12 à 15:12

J'ai mal lue ... ok je voie merci à vous deux =)

Posté par
tissadu69
re : Démonstration de la somme des entier au cube ...; 08-09-12 à 15:15


(n+1)^2[\frac {(n+2)^2}{4}]

...Oui mais là je vois pas  trop comment dire que
13 +23+ ...+n3 =\frac {n^2(n+1)^2^}{4}

Posté par
rad
re : Démonstration de la somme des entier au cube ...; 08-09-12 à 15:17

tu as fini, le but lors de l'hérédité c'est d'obtenir n+1 à la place de n dans ton expression.
Donc tu as prouvé au rang n+1, c'est donc vraie au rang n

Posté par
LeDino
re : Démonstration de la somme des entier au cube ...; 08-09-12 à 15:18

Tu rigoles ?
Tu dois l'écrire au rang 'n+1' maintenant :

Un+1 = 13 + 23 + ... + (n+1)3 = ...  juste ce que tu viens de trouver ...

Posté par
tissadu69
re : Démonstration de la somme des entier au cube ...; 08-09-12 à 15:22

A oui cette histoire de hérédité m'était sortie de la tête.

Oui donc si c'est vraie pour n+1 c'est vrais n 1...
Merci .

On me demande à présent d'en déduire une relation entre la somme des cubes des entier de 1 à n ....Je ne comprends pas trop la phrase .... Ce n'est pas déjà ce que j'ai fait ,

Posté par
LeDino
re : Démonstration de la somme des entier au cube ...; 08-09-12 à 15:42

Citation :
On me demande à présent d'en déduire une relation entre la somme des cubes des entiers de 1 à n ...
Je ne comprends pas trop la phrase ....

Normal que tu ne comprennes pas la phrase : elle est incompréhensible ...

Soit on te demande simplement la conclusion du raisonnement par récurrence, parce que ça n'a pas encore été dit jusque là...
... et il te suffit de dire que tu viens de montrer que Pn est vraie pour tout 'n' grâce à la récurrence.

Soit la phrase est incomplète et on te demande une relation entre quelque chose... et autre chose ... à toi de nous dire quoi : c'est toi qui a l'énoncé...

Posté par
tissadu69
re : Démonstration de la somme des entier au cube ...; 08-09-12 à 15:48

( En tout cas j'ai réussis à démontrer que je ne sais pas lire ...)
Oui il y a une erreur dans ce que j'ai écrit ...

en déduire une relation entre la somme des cubes et la somme des entier de 1 à n des entier de 1 à n ...

Du coup j'ai compris la phrase ...De quel manière on met en relation deux formules ?

Posté par
tissadu69
re : Démonstration de la somme des entier au cube ...; 08-09-12 à 15:50

Citation :

en déduire une relation entre la somme des cubes et la somme des entier de 1 à n des entier de 1 à n ...


Oui et je ne me relit pas en plus ....Désolée

La partie en gras est  bien sur  en trop ....

Posté par
tissadu69
re : Démonstration de la somme des entier au cube ...; 08-09-12 à 15:53




 \\ ( \frac {n(n+1)}{2})^2


ça pourrai être ça ?  

Posté par
LeDino
re : Démonstration de la somme des entier au cube ...; 08-09-12 à 15:55

Citation :
... en déduire une relation entre la somme des cubes  et  la somme des entiers  de 1 à n...
... De quelle manière on met en relation ces deux formules ?

Fastoche : on commence par les écrire ...

Somme des entiers  = ...
Somme des cubes    = ...

Rien qu'en les écrivant l'un sous l'autre, la relation va te sauter aux yeux.
Fais juste gaffe à tes yeux ...

Posté par
tissadu69
re : Démonstration de la somme des entier au cube ...; 08-09-12 à 15:57



Oui ça saute au yeux ....J'ai du mettre mes lunettes de chimie !

Posté par
LeDino
re : Démonstration de la somme des entier au cube ...; 08-09-12 à 15:57

Citation :
ça pourrait être ça ?  

Oui !
Mais écris le correctement, là tu n'as pas mis la phrase en entier...

Posté par
tissadu69
re : Démonstration de la somme des entier au cube ...; 08-09-12 à 15:58

Arch !!

Je réécrit mon poste de 15h57

Citation :
Fais juste gaffe à tes yeux

Oui ça saute au yeux ....J'ai du mettre mes lunettes de chimie !

Posté par
tissadu69
re : Démonstration de la somme des entier au cube ...; 08-09-12 à 16:00

La phrase ?


La relation entre la des cubes et la des entier de 1 à n est



 \\ ( \frac {n(n+1)}{2})^2


Comme ça ?

Posté par
LeDino
re : Démonstration de la somme des entier au cube ...; 08-09-12 à 16:12

"Pas bien" !

Exemple 1 :
La somme des n premiers cubes est le carré de la somme des n premiers entiers.

Exemple 2 :
On note S1(n) la somme des n premiers entiers.
On note S3(n) la somme des n premiers cubes.

On a démontré que :  S3(n) = S1(n)²

Exemple 3 :
k=1,n k3 = (k=1,n k )²

Posté par
tissadu69
re : Démonstration de la somme des entier au cube ...; 08-09-12 à 16:20

D'accord ...Bizarrement ... je préfère la 3ème écriture...

Merci beaucoup une dernière question ...  

Citation :
on te demande simplement la conclusion du raisonnement par récurrence, parce que ça n'a pas encore été dit jusque là...


Cette conclusion peut elle être fait ainsi :
La proposition est vraie au rang  1 et au rang n+1 alors est est vraie au rang n ?

Posté par
LeDino
re : Démonstration de la somme des entier au cube ...; 08-09-12 à 16:31

Citation :
Cette conclusion peut elle être fait ainsi :
La proposition est vraie au rang  1 et au rang n+1 alors est est vraie au rang n ?

Non.
Tout dépend un peu de ce que tu as déjà écrit et de ce que l'énoncé te dit exactement.

En principe ta conclusion doit ressembler à ceci :

J'ai montré que P1 est vraie.
J'ai montré que si Pn est vraie alors Pn+1 est vraie.
Donc, par récurrence, Pn est vraie tout le temps pour tout n.

Posté par
tissadu69
re : Démonstration de la somme des entier au cube ...; 08-09-12 à 16:33

D'accord ... Il me semble que c'est ce que j'ai fait ...Je verrai bien la correction de l'exercice lundi ....Merci bien =)

Posté par
LeDino
re : Démonstration de la somme des entier au cube ...; 08-09-12 à 16:48

Oui j'ai l'impression que tu as compris l'enssentiel et qu'après c'est juste une question de "forme".
Observe ton prof : il donnera lui même l'exemple de ce qu'il attend de vous ...

Posté par
tissadu69
re : Démonstration de la somme des entier au cube ...; 08-09-12 à 16:58

Oui, merci je vais essayer de retenir la rédaction qu'il fait .
Bon weekend



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