J'ai le fils d'un collègue en math, et mon bac me semble
un peu loin.
Il a ce devoir important pour lui, je vous transmets l'intégrale
du problème, histoire de voir si ce forum est à la hauteur …
Merci par avance au philanthrope des maths


C est un demi-cercle de centre O et de rayon 1. [AB] un diamètre et
D le point de C qui se projette orthogonalement en O su (AB). M est
le point de l'arc DB. On note x la mesure en radians de l'angle MAB.

1.a. Démontrez que x appartient à l'intervalle [0 ;pi/4]
1.b. Démontrez que MOB a pour mesure 2x.

2. I est le milieu de [AM] et H le projeté orthogonal de M sur [AB]
2.a. Démontrez que le triangle AIO est rectangle.
2.b. Démontrez que cosx=AI et cos2x=OH
2.c. Démontrez que AH=AMcosx et déduisez-en que AH=2cos²x

3. Déduisez de la question précédente que pour tout x de l'intervalle
[0 ;pi/4], cos2x=2cos²x-1

4.a. Démontrez que MH=sin2x et que MH=AMsinx
4.b. Déduisez-en que pour tout nombre réel x de l'intervalle [0 ;pi/4],
sin2x=2sinxcosx