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demonstration de sin2x=2sin xcox x

Posté par Néo Manu (invité) 16-05-04 à 01:29

Au secour j'ai un DM pour Lundi , ca fais deja une semaine que
je suis dessus et rien a faire je bloque dans cet exo.

C est un demi cercle de centre Oet de rayon  1. [AB] un diamètre et
D le point de C qui se projete orthogonalement en O sur (AB).M est
un point de l'arc DB . On note x la mesure en radians de l'angle
  MAB.

A

1a) Démontrez que x appartient a l'intervalle [ x; pi /4]
Ca je l'ai fais   si l'angle M va au point B , x = O° , et
si  x va au point  D , x = pi /4


1b)Démontrez que MOB a pour mesure 2x.

2) I est le milieu  de [AM] et H le projeté orthogonal de M  sur [AB].
2a)Démontrez que le triangle AIO est rectangle.
2b)Démontrez que cos x= AI et cos 2x = OH
2c) Démontrez que AH = AM cos x et déduisez en que AH = 2 cos²x

3)Déduisez de al question précédente que pour tout x de l'intervalle [0
; pi/4 ], cos 2 x =2 cos²x-1.

4a) Démontrez que  MH = sin2x et que MH =AM sin x .
4b)Déduisez en pour tout réel x de l'intervalle [0 ; pi/4 ] , sin2x= 2sin
x cos x.

B

1) Lorsque x varie dans [0 ; pi/4 ] , a quel intervalle appartient cos
x ? sin x ?.

2) On note I  l'intervalle [ V2/2 ; 1]  et K l'intervalle
  [0 ; V2 /2 ]    ( heu les V sont les racines).
2a) racine carré de racine carré de 2 +2 /2  ( Vv2+2/2) appartient il
à I?

2b) V6 -V2/4 appartient il a K?

3) On donne  cos x = Vv2+2/2 avec x appartient à [o ; pi/4]
3a) Calculez cos 2x.
3b)Déduisez en que  x= pi/8.

4) On donne cos x = V6+V2 /4 avec x appartient à [0 ; pi/4 ]
4a) Calculez cos 2x.
4b)Déduisez en x.

Merci de votre aide

Posté par (invité)re : demonstration de sin2x=2sin xcox x 16-05-04 à 10:19

bonjour;
tu as appris au cours deta "longue carrière mathématique" que dans
un cercle, l'angle au centre d'un cercle et qui intercepte
un arc donné est égal au double de l'angle au sommet (càd dont
le sommet est sur le cercle) qui intercepte le même arc.
C'est le cas ici MAB et MOB inerceptent le même arc MB et donc MOB=2x
2) le triangle OAM est isocèle en O puisque OA=OB=1 (rayon du cercle)
par conséquent la mdiane est également hauteur et (AI) perp à (OI)
dans ce triangle rectangle en I
cosx=AI/AO et comme AO=1
cosx=AI
dans OMH recangle en H cos2x=OH/OM=OH
dans AMH rectangle en H
cosx=AH/AM donc AH=AMcosx et comme AM=2AI et que AI=cosx
AH=2cos²x
AH=AO+OH=1+cos2x
2cos²x=1+cos2x
et par conséquent
cos2x=2cos²x-1
4)dans OMH  sin2x=MH/OM=MH
et dans MAH sinx=MH/AM
=MH/2cosx
MH=2sinxcosx=sin2x

Pour la suite , désolé, mais je ne sais pas te lire avec certitude, car
tu ne mets aucune parenthèse quand tu as des fractions et je ne sais
donc pas ce que tu as écrit
Mai tu devrais pouvoir t'en tirer
Bon travail

Posté par
Tom_Pascal Webmaster
re : demonstration de sin2x=2sin xcox x 16-05-04 à 11:29

Bonjour,

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