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Démonstration dérive du barycentre
bonjour j'ai un exercice à faire et je bloque sur la première question et ce que vous pouvez m'aidez svp
Voici l'enonce:
On a ABC un triangle et G son centre de gravité
On a VecteurAG=2/3AI et VecteurBG=2/3BJ où I est le milieu de BC et J celui de AC
1) démontrer que GA+GB+GC=0
2) réciproquement soit E un point du plan tel que EA +EB+ÉCRIT=0
Démontrer E=G
Merci d'avance
Bonsoir,
Pour le 1 :
GA + GB + GC = 2IA/3 + 2JB/3 + (GA + AC)
Mais 2IA = CA, 2JB = CB, et GA = 2JA/3 = 2JB/3 + 2BA/3
Donc :
GA + GB + GC = CA/3 + CB/3 + 2JB/3 + 2BA/3 + AC
Mais 2JB = CB, donc :
GA + GB + GC = CA/3 + CB/3 + CB/3 +2BA/3 + AC
GA + GB + GC = 2AC/3 + 2CB/3 + 2BA/3
GA + GB + GC = 2(AC + CB + BA)/3 = 0
Pour le 2 :
EA = EG + GA
etc...
Montre que EG = 0
J'ai pas'du Tout fais comme ça pour la une :
On trace le symétrique D de G par rapport à I
Donc I est le milieu de GD et de CB
Or un quadrilatère dont les diagonale se coupe en leur milieu est un parallélogramme
On a ainsi GB=CD
De plus G est le milieu de AD donc GA+GD=0
Ainsi Ga+GB+GC=GA+CD+GC
=GA+GD
=0
2) EA+EB+EC =0
EG+GA+EG+GB+EG+GC=0
3EG+GA+GB+GC=0
3EG=0
D'ou E=G
C bon
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