la premiere partie raisonnement par recurrence
vrai pour n=2
et n^4+(n+1)^3<(n+1)^4 il suffit de developper...

pour Un<Vn car sin(x)<x pour x dans [O, Pi/2]
(si tu veux le demontrer, tableau de variation de
f, f definie sur [0, Pi/2] avec f(x)=x-sin(x)

pour Vn-(1/6)*1/(n^2)<Un

x-x^3/6<sin(x) sur [0, Pi/2] pour le demontrer,
etudie g(x)=x-x^3/6-sin(x) en faisant d'abord le tableau de variation de g' puis celui de g.

comme x-x^3/6<sin(x)
on a 1/n^2+....+n/n^2-(1/6)*(1/n^6+...n^3/n^6)<Un
ce qui donne 1/n^2+....+n/n^2-(1/6n^2)*(1/n^4+...n^3/n^4)<Un
soit Vn-(1/6n^2)*(1/n^4+...n^3/n^4)<Un
ou encore Vn-(1/6n^2)*(1+...+n^3)/n^4<Un

or on a vu que n>1 on a 1^3+2^3+3^3+...+n^3<n^4
donc (1^3+2^3+3^3+...+n^3)/n^4<1
donc -(1/6n^2)*(1^3+2^3+...+n^3)/n^4>-(1/6n^2)
donc Vn-(1/6n^2)*(1+...+n^3)/n^4>Vn-(1/6n^2)

donc Un>Vn-(1/6n^2)*(1+...+n^3)/n^4>Vn-(1/6n^2)


voila le plus dur dans l'exo etait de savoir
que sur [0,Pi/2] x-x^3/6<sin( x)<x.

je ne pense pas qu'un eleve de terminale puisse savoir ca comme ca...
ou c'est dans ton cours, ou c'est une question precedente de l'exo ou une indication...

Bonjour tonio,


or la fonction x--> est croissante donc pour tout n :
1 1^322^3donc en revenant à ta somme chaque terme en cube peut être majoré par n^3 et comme il y a n termes la somme est majorée poar n*n^3=n⁴

Pour la deuxième :
pour tout x positif strictement positif 0donc pour x=1/n², pour x=2/n², ..., pour x=n/n² on a cette relation "en sommant" ces inégalités on obtient Un
Par contre pour l'autre inégalité j'ai pas encore d'idée...

Salut

oups en retard et moins complet

minotaure
j'ai efectivement une fonction x+x^2/6+sinx à etudier et ca ce n'est pas un probleme mais je comprend pas ton raissonement apres
si tu pouvais m'eclairer...
merci