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Démonstration du Théorème de Bezout grâce à un sous groupe
Bonjour,
J'ai précédemment démontré que a
+b était un sous groupe de
On me demande maintenant de montrer que tout sous groupe additif G de est de la forme a où a = min(G
*) et d'en déduire le théorème de Bezout.
Quelqu'un peut il me traduire cette question étape par étape avant toute réponse ?
Merci d'avance 
ta question repose sur la division euclidienne dans Z.
Soit G un sous groupe de Z.
1er cas:
G={O} dans ce cas c'est fini.
2ième cas:
G non nul => Soit g G.
On va considérer G={g
tel que g>0}
C'est une partie non vide de
Elle admet donc un plus petit élement que l'on appelle a.
Maintenant effectue la division euclidienne de g par a et tu vas aboutir à une absurdité.
l'absurdité viendrait elle du fait que le reste doit être plus petit que a alors que c'est lui le plus petit élément ?
exactement!
Du coup le reste vaut forcément 0 donc g=na => G inclus dans aZ
L'autre inclusion est évidente car a appartient à G et G sous groupe de Z!
additif c'est pour le fait on considère la loi + et non la loi .
Du coup, tu viens de montrer les sous groupes de (Z,+) sont de la forme aZ.
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