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Démonstration du théorème de FERMAT ( Spécialité)

Posté par miffel (invité) 19-03-06 à 15:33

Bonjour a tous !
Ca fait deja plus de deux jours que je suis sur cette exercice et je n'y arrive vraiment pas du tout. j'ai réussi a demontrer des bouts de questions mais je en pense pas que se soit bon. Est-ce que vous pourriez m'aider s'il vous plait!! Merci
                     Miffel

           Enoncé :

On se propose de demontrer le résultat suivant, connu ous le nom de petit theoreme de FERMAT :
Si p est un nombre premier, pour tout entier a non divisible par p, alors a^(p-1) congru 1 (p).
Soit p un nombre premier et a un entier non diisible par p.
1)On considere la liste de nombres a,2a,3a, ... (p-1)a.
a)En utilisant un raisonnement par l'absurde, montrer que, pour k et k' distincts entre 1 et (p-1), les restes dans la division euclidienne par p des nombres ka et ka' sont distincts et non nuls.
b)En deduire que la liste des restes dans la division euclidienne par p de a,2a,3a ... (p-1)a est formée des nombres 1,2,... (p-1).
2)On ecrit : a congrus r1(p)
             2a congrus r2 (p)
             .....
             (p-1)acongrus r(p-1) (p)      
Les nombres r1,r2 ... r(p-1), étant distincts deux à deux et formant la liste 1,2 ... , (p-1).
a)Donner une expression simple du produit r1r2..r(p-1).
b)En utilisant la comptabilité des congruences avec la multiplication, justifier que :
(p-1)!a(p-1) congrus (p-1)! (p).
c)A et B etant deux entiers, on rappelle que A congrus B (p) si, et seulement si, p divise (A-B).
Déduire de b) que p divise a (p-1) - 1 et conclure.

Posté par
Matouille2b
re : Démonstration du théorème de FERMAT ( Spécialité) 19-03-06 à 17:07

Salut miffel

1.a
Soit k et k' distincts entre 1 et (p-1)
Par l'absurde supposons que ka et k'a aient meme reste dans la division euclidienne par p
Alors ka k'a mod(p)
ie (k-k')a 0 mod(p)
Donc p divise (k-k')a

Or p ne divise pas a et p est premier donc pgcd(a;p)=1
D'apres le théorème de Gauss p divise (k-k') (E)
Or 1<= k <= p-1 et 1<= k <= p-1 donc   | k-k'|<= p-2
Donc nécéssairement k-k'=0 ie k=k' (car sinon d'apres (E) p<=| k-k'| impossible)
Donc contradiction ...

1.b
On en déduit que les restes dans la division euclidienne de a,2a,3a ... (p-1)a sont 2 à 2 distincts et puisqu'il y a (p-1) restes possibles, nécéssairement la liste des restes dans la division euclidienne par p de a,2a,3a ... (p-1)a est formée des nombres 1,2,... (p-1).

2.a
r1r2..r(p-1)= 1.2.3....(p-1) = (p-1)!

2.b
On a :
r1r2..r(p-1) a.2a.3a...(p-1)a (p-1)!a^(p-1) mod(p)

Donc (p-1)! (p-1)!a^(p-1) mod(p)

2.c
Il s'en suit que :
p divise (p-1)!a^(p-1)- (p-1)! = (p-1)! (a^(p-1)- 1)

Or pgcd(p;(p-1)!)=1
Donc d'apres le thoereme de Gauss p divise (a^(p-1)- 1)
ie a^(p-1) 1 mod(p) .....

Posté par
pripri1904
re : Démonstration du théorème de FERMAT ( Spécialité) 15-02-18 à 19:59

Bonjour j'ai pratiquement le même exercice à faire. J'aimerai savoir si quelqu'un pourrait me rexpliquer la question 2b. J'ai déjà réussi a prouver que k'a et ka avait des congruences différentes merci d'avance

Pour la question sur laquelle je bloque j'ai commencer par dire que a(p-1)! = a^p-1 * (p-1)!



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