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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Démonstration espace de Banach

Posté par
MatheuxAnonym
28-11-20 à 14:40

Bonjour à tous, j'ai du mal à faire une démonstration à propos des espaces de Banach, c'est une notion que je découvre tout juste. Merci d'avance de votre aide !!

Je dois montrer que (R², || · ||∞) est complet en utilisant le fait que (R, | · |) est complet.

J'ai considéré une suite de Cauchy ((xn, yn))n∈N de R² et j'ai voulu montrer que (xn) et (yn) sont de Cauchy dans R.
Cependant, en appliquant la définition d'une suite de Cauchy à la suite ((xn,yn))n∈N je ne sais pas comment continuer ni quoi faire je suis perdu.

Merci d'avance,

Posté par
Zormuche
re : Démonstration espace de Banach 28-11-20 à 14:51

Bonjour

Je me permets de réécrire la définition d'une suite de Cauchy puisque tu l'as déjà fait

En notant  a_n=(x_n,y_n)

\forall \varepsilon>0, \quad \exists N\in\N, \quad \forall p,q\ge N,\quad \|a_p-a_q\|_\infty<\varepsilon

Ensuite, que vaut la norme infinie de  a_p-a_q  ?

Posté par
MatheuxAnonym
re : Démonstration espace de Banach 28-11-20 à 14:55

la norme infinie de ap - aq = max( |xp - xq|, |yp -yq| ) je dirais

Posté par
Zormuche
re : Démonstration espace de Banach 28-11-20 à 14:57

Oui, donc ça c'est plus petit que epsilon. Et ensuite ?

Posté par
MatheuxAnonym
re : Démonstration espace de Banach 28-11-20 à 14:59

Donc |xp - xq| < epsilon et |yp -yq| < epsilon
Donc xn est une suite de Cauchy de R avec la valeur absolue et pareil pour yn

Donc  (R², || · ||∞) est complet en utilisant le fait que (R, | · |) est complet.

C'est juste ça ?

Posté par
Zormuche
re : Démonstration espace de Banach 28-11-20 à 15:06

Oui, c'est ça
reste à rajouter les détails que tu as oubliés : x_n converge, y_n également, etc.

Posté par
MatheuxAnonym
re : Démonstration espace de Banach 28-11-20 à 15:08

D'accord merci beaucoup !!

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