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Démonstration identité de vandermonde

Posté par
feydarn 13-10-13 à 12:59

Bonjour à tous, en fait je me suis intéressé à l'identité de Vandermonde et je n'arrive pas bien à comprendre un passage de la démonstration qui en est faite sur Wikipédia :

Tout d'abord on prend un polynôme (1+x)^{m+n} qu'on développe avec le binôme de Newton, cela donne \\ \sum_{r=0}^{m+n} \binom{m+n}{r}x^r .

Puis on sépare ce polynôme en deux autres polynômes (1+x)^{n} (1+x)^{m} qu'on développe aussi grâce au binôme, ce qui donne \left( \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i}x^i \right) \left( \sum_{j=0}^{m} \binom{m}{j}x^j \right) jusque là je comprend bien.

Mais après dans la démonstration ils disent que cela est égal à \sum_{r=0}^{m+n} \left( \sum_{k=0}^{r} \binom{n}{k} \binom{m}{r-k} \right) x^r

C'est cette égalité que je ne comprend pas, elle me semble vraie mais pas du tout instinctive et je ne vois pas comment on l'obtient. Sinon après à la fin je comprend la démarche d'identification des coefficients qui permet de clore la démonstration, c'est juste ce passage plus haut qui me bloque.

Pourriez vous m'aider à comprendre ?

Posté par
carpediemre : Démonstration identité de vandermonde 13-10-13 à 13:04

salut

quel est le coefficient de xr avec r = i + j ?

Posté par
feydarnre : Démonstration identité de vandermonde 13-10-13 à 13:18

Bonjour et merci pour votre réponse.

Eh bien cela fait \sum_{k=0}^{i+j} \binom{n}{k} \binom{m}{i+j-k} non ?

Posté par
carpediemre : Démonstration identité de vandermonde 13-10-13 à 13:30

ben voila ...

Posté par
feydarnre : Démonstration identité de vandermonde 13-10-13 à 13:41

Oui mais je ne vois pas vraiment en quoi cela est égal à la somme plus haut.

Si je développe \left( \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i}x^i \right) \left( \sum_{j=0}^{m} \binom{m}{j}x^j \right) ça donne \left( \sum_{i=0}^{n}\right) \left( \sum_{j=0}^{m} \binom{m}{j}\binom{n}{i}x^{i+j} \right)

Je ne vois pas en quoi cela se transforme en \sum_{r=0}^{m+n} \left( \sum_{k=0}^{r} \binom{n}{k} \binom{m}{r-k} \right) x^r

Désolé si la question est un peu bête

Posté par
carpediemre : Démonstration identité de vandermonde 13-10-13 à 13:45

pose r = i + j et transforme convenablement les bornes de tes sommes ... par changement d'indices ....

Posté par
feydarnre : Démonstration identité de vandermonde 13-10-13 à 14:05

J'arrive à \left( \sum_{i=0}^{n}\right) \left( \sum_{r=i}^{m} \binom{m}{r-i}\binom{n}{i}x^{r} \right) je peux remplacer le i par un k ça donne \left( \sum_{k=0}^{n}\right) \left( \sum_{r=k}^{m} \binom{m}{r-k}\binom{n}{k}x^{r} \right) mais à partir de là je ne vois pas le changement d'indice à effectuer

Posté par
carpediemre : Démonstration identité de vandermonde 13-10-13 à 14:26

il ne faut pas oublier que si k > n alors C(n, k) = 0 (convention) ....

Posté par
feydarnre : Démonstration identité de vandermonde 13-10-13 à 14:40

D'accord mais comment transformer tout ça en \sum_{r=0}^{m+n} \left( \sum_{k=0}^{r} \binom{n}{k} \binom{m}{r-k} \right) x^r je ne vois pa bien le changement d'indice, on peut peut être inverser les sommes, ce qui donnerait \left( \sum_{r=k}^{m}\right) \left( \sum_{k=0}^{n} \binom{m}{r-k}\binom{n}{k}x^{r} \right) mais après...

Posté par
carpediemre : Démonstration identité de vandermonde 13-10-13 à 14:45

\left( \sum_{i=0}^{n}\right) \left( \sum_{j=0}^{m} \binom{m}{j}\binom{n}{i}x^{i+j} \right)

posons r = i + j

r varie de 0 à m + n

k = i varie de 0 à r (avec la convention) et j = r - k

Posté par
kybjmre : Démonstration identité de vandermonde 13-10-13 à 15:01

Il faut se rappeler que pour n et p dans C(n,p) est le nombre de parties à p éméments dans un ensemble qui en a n .
Si p > n on a donc C(n,p) = 0 tandis que , sinon , C(n,p) = n!/p!(n-p)!

Pour tout n on a donc (X + 1)n = k0 C(n,k)Xk (somme qui n'est qu'apparemment "infinie")

Si m , n et k sont  dans , pour avoit Xk dans le produit (k0 C(m,k)Xk)(k0 C(n,k)Xk) tu prends , pour j de 0 à k , Xj à gauche et  Xk-j à droite .
En fait si k > n , lorsque j varie de 0 à k on a C(m,j) = 0 ou C(n,j) = 0 donc il n'y a pas de Xk dans la produit .


Posté par
feydarnre : Démonstration identité de vandermonde 13-10-13 à 15:09

Ah oui j'ai compris maintenant, en tout cas merci beaucoup de votre aide et de votre patience, bonne journée

Posté par
carpediemre : Démonstration identité de vandermonde 13-10-13 à 16:40

de rien

Posté par
Akhenonre : Démonstration identité de vandermonde 20-08-20 à 05:55

carpediem @ 13-10-2013 à 14:45

\left( \sum_{i=0}^{n}\right) \left( \sum_{j=0}^{m} \binom{m}{j}\binom{n}{i}x^{i+j} \right)

posons r = i + j

r varie de 0 à m + n

k = i varie de 0 à r (avec la convention) et j = r - k

Bonjour et désolé pour le dérangement mais je voudrais savoir pourquoi le k=i varie de 0 à r ( s'ils vous plaît ) merci bien.

Posté par
Akhenonre : Démonstration identité de vandermonde 20-08-20 à 06:04

A mon avis le k=i devait varier de 0 à n au lieu de r, car r=i+j et varie de 0 à m+n. Et ce si nous donne k=i variant de 0 à m+n (car la plus petite valeur de r=0 et la plus grande valeur de r= m+n).
J'ai besoin de plus d'explications s'ils vous plaît.


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