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Demonstration inégalité de la somme des modules

Posté par
Loro 16-10-18 à 19:13

Bonjour, j'ai fait une démonstration sur les inégalités avec les sommes de modules de complexes j'aimerai savoir si elle est correcte, alors si quelqu'un a un peu de temps a me consacrer, ce serait sympa.

Donc je veux montrer que pour tout z,z' \inC, on a : ||z|-|z'||\leq |z-z'|
Donc :

||z|-|z'||\leq |z-z'|\\\Leftrightarrow |z-z'|²\geq ||z|-|z'||²\\\Leftrightarrow(z-z')(\bar{z-z'})\geq (|z|-|z'|)(\bar{|z|-|z'|})\\\Leftrightarrow z\bar{z}-z\bar{z'}-z'\bar{z}+z'\bar{z'}\geq |z||\bar{z}|-|z||\bar{z'}|-|z'||\bar{z}|+|z'||\bar{z'}|\\\Leftrightarrow z\bar{z}-z\bar{z'}-z'\bar{z}+z'\bar{z'}\geq z\bar{z}+z'\bar{z'}-|z||z'|-|z'||z|\\\Leftrightarrow (z\bar{z'}+z'\bar{z})²\leq (|z||z'|+|z'||z|)²\\\Leftrightarrow z²\bar{z'}²+z'²\bar{z}²\leq 2 |z||z||z'||z'|\\\Leftrightarrow z²\bar{z'}²+z'²\bar{z}²-2 z\bar{z}z'\bar{z'}\leq 0\\\Leftrightarrow (z\bar{z'}-z'\bar{z})²\leq 0

La dernière inéquation est toujours vraie vu que l'objet au carré est T-\bar{T}
(avec T=z\bar{z'}), qui est un imaginaire pur.

Ceci est-il juste ? Merci d'avoir pris le temps, j'ai sauté quelques étapes car c'est long et lourd à écrire et à lire.

Posté par
carpediemre : Demonstration inégalité de la somme des modules 16-10-18 à 19:56

salut

bof ... trop compliqué à lire ...

en particulier tout de même : |z| - |z'| est un réel... donc (égal à) son conjugué (ligne 2-3)

de même zz* = |z|^2 ... donc il y a deux nombreuses simplifications ...


PS : il existe une solution "classique" très simple ...

Posté par
etniopalre : Demonstration inégalité de la somme des modules 16-10-18 à 20:05

Un truc qui n'est pas trop "  long et lourd à écrire et à lire " c'est :
On a :  |a + b| |a| + |b| pour tout (a,b) de ²  donc on a aussi :

|x| |x - y| + |z|    pour tout (x,y) et donc |x| - |y|   |x - y|  .

Par suite ( toujours  pour tout (x,y) )   |x| - |y|   |x - y| et  |y| - |x|   |y - x|

  Ce qui entraine que     |x - y| Max (  |x| - |y| ,  |y| - |x|) = │|x| - |y|│ ( toujours  pour tout (x,y)  de ² )
___________________

Ceci pourra te servir pour montrer que  dans tout métrique (E , d) on a :
d(x,y) |d(x,z) - d(z,x)| pour tout (x,y,z) de E3 .
_____________

On me faisait seriner ,  quand j'étais petit :
     " la longueur d'un côté d' un triangle est plus petite que  le somme des longueurs  des deux autres  côtéset plus grande que la valeur absolue de leur différence "

Posté par
carpediemre : Demonstration inégalité de la somme des modules 16-10-18 à 20:09

pourquoi lui donner la réponse ...

x = x - y + y  et on prend le module
y = y - x + x  et on prend le module

Posté par
Lili6re : Demonstration inégalité de la somme des modules 16-10-18 à 20:13

Salut, franchement c'est encore un mystère pour moi comment les inégalités changent de sens à la 1ere et à la 5eme équivalence

Posté par
Lorore : Demonstration inégalité de la somme des modules 20-10-18 à 09:32

Salut !
Merci pour vos retours, meme si la reponse de etniopal me déroute un peu pour le moment ...
Lili6, a la premiere equivalence, j'ai juste ecrit dans l'autre sens, c'est la meme inegalité et a la 5eme j'ai fait x(-1) donc l'inegalité change de sens

Posté par
Lili6re : Demonstration inégalité de la somme des modules 20-10-18 à 13:46

Bonjour, Ah m...

Il faut juste appliquer l'inégalité triangulaire à  (x-y)+y comme Carpediem l'a dit, pour la reponse de Etniopal je crois qu'il voulait écrire
|x=(x-y)+y | \leq |x-y|+|y|

Posté par
Lorore : Demonstration inégalité de la somme des modules 21-10-18 à 14:54

Ok, et bah merci alors !


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