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Démonstration inégalité racine
Bonsoir 
Voilà l'exercice
1) montrer pour a et b positifs,
sqrt a+b <= sqrt a + sqrt b
Voilà ça c'est simple a démontrer il suffit juste de mettre un carré de chaque côté
Mais le 2 pose + de problème
2) En déduire que pour tous réels a et b on a :
Sqrt valeur absolue a-b >= valeur absolue sqrt valeur absolue a- sqrt valeur absolue b
Je sais qu'il est possible de montrer ça en montrant d'abord si a>b et ensuite si b>a
Mais j'aimerai avoir une autre méthode
Merci !
bonjour,
notons et
Il s'agit donc de démontrer que et
la première est évidente, la deuxième résulte de la question 1 en l'écrivant
Bonjour,
Je propose une démonstration qui revient à peu près au même, plus longue, mais plus « terre à terre ».
D'après 1), Pour tout x et y réels on a
|x| + |y| 
( |x|+|y| ) (1) .
D'après l'inégalité triangulaire, Pour tout x et y réels on a
|x| + |y| |x+y| (2) .
Pour tout a et b réels, d'après (1), on a
|a-b| + |b| ( |a-b|+|b| ) .
D'après (2) on a |a-b| + |b|
|a| .
D'où
( |a-b|+|b| ) |a| .
Par transitivité de , on a
|a-b| + |b| |a| .
En échangeant a et b, on a aussi
|b-a| + |a| |b| .
D'où
|a-b| |a| - |b| et
|b-a| |b| - |a| .
Enfin : |a-b| | |a| - |b| | .
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