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Niveau terminale
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Démonstration module complexe

Posté par
7MK 08-09-17 à 17:32

Bonjour/Bonsoir tout le monde

J'ai un exercice que je n'arrive pas à résoudre.

Exercice

Soit z un complexe tel que |1+z| < 1/2
Montrer que |1+z²| > 1

Merci d'avance pour votre aide

****** forum modifié, fais attention la prochaine fois STP ****

Posté par
carpediemre : Démonstration module complexe 08-09-17 à 19:45

salut

il y a la méthode bourrin pour laquelle on pose z = x + iy

puis il y a la méthode fine (fort probablement géométrique) ... mais je ne vois pas ...


enfin peut-être utiliser la notation exponentielle d'un complexe ...

Posté par
lakere : Démonstration module complexe 09-09-17 à 16:25

Bonjour,

Une solution "géométrique" qui passe par les arguments et que l' on peut trouver discutable:

Soit A le point d' affixe -1 et M le point d' affixe z

  Ecrire que |1+z|\leq \dfrac{1}{2} revient à écrire que M(z) appartient au disque de centre A et de rayon \dfrac{1}{2}.

Démonstration module complexe

Avec les deux tangentes à ce disque issues de O en OT et OT', on a donc:

   \dfrac{5\pi}{6}\leq Arg(z)\leq \dfrac{7\pi}{6}\;\;[2\pi]

On en déduit: -\dfrac{\pi}{3}\leq Arg(z^2)\leq \dfrac{\pi}{3}\;\;[2\pi]

Autrement dit, le point M' d' affixe z^2 "vit" dans la région limitée par les deux demi droites en rouge sur la figure.

Cette région étant extérieure au disque de centre A et de rayon 1, on a bien:

    |1+z^2|\geq 1

Je le répète: très discutable et un peu trop visuel pour être honnête...

On a même |1+z^2|\geq \dfrac{5}{4} mais ce serait un autre exercice...

Posté par
carpediemre : Démonstration module complexe 09-09-17 à 17:23

oui c'est ce que j'avais en tête ... et ça n'est pas trop visuel ... c'est visuel !! car le principe du visuel c'est d'être visuel !!!

et quand je disais je ne vois pas  c'est d'avoir un argument simple pour justifier le résultat plutôt que de passer par les arguments ... (qui est cependant relativement simple ... visuellement !! et mathématiquement !!)

ha mais avec une figure !!

Démonstration module complexe

d'après l'inégalité triangulaire  AB \le AM + MB \iff MB \ge AB - AM

|z^2 + 1| = |z - i| |z + i| = MB . MC \ge (AB - AM)(AC - AM) = (AB - AM)^2 = ( \sqrt 2 - AM )^2 \ge \left( \sqrt 2 - \dfrac 1 2 \right)^2 = \dfrac 7 4 - \sqrt 2

damned ça ne marche toujours pas ...

Posté par
lakere : Démonstration module complexe 09-09-17 à 17:47

C' est plutôt \dfrac{9}{4}-\sqrt{2} à la fin: mieux mais ça ne suffit encore pas

J' ai beaucoup cherché en partant des modules/longueurs (en y passant du temps...); je ne suis arrivé à rien de concluant...

Posté par
carpediemre : Démonstration module complexe 09-09-17 à 17:51

OM \le OB + BM \iff BM \ge OM - OB

|z^2 + 1| = ... = MB.MC \ge (OM - OB)(OM - OC) = (OM - OB)^2 = (|z| - 1)^2

or \dfrac 1 2 \le |z| \le \dfrac 3 2 => - \dfrac 1 2 \le |z| - 1 \le \dfrac 1 2

damned ça marche toujours pas !!!

Posté par
carpediemre : Démonstration module complexe 09-09-17 à 17:52

ha oui merci ...

Posté par
carpediemre : Démonstration module complexe 09-09-17 à 18:34

soit M dans le demi-plan supérieur et notons D le point d'intersection (-1/2, 0)

|z^2 - 1| = BM.CM \ge BD.CM = \dfrac {\sqrt 5} 2 CM \ge \dfrac {\sqrt 5} 2(AC - AM) = \dfrac {\sqrt 5} 2 (\sqrt 2 - AM) \ge \dfrac {\sqrt 5} 4 (2 \sqrt 2 - 1) \ge 1

yyyyyyyyyyyyyyyeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeesssssssssssssssssssssssssssssssssss

on y croit (on prie pour qu'il n'y aie pas d'erreur )

Posté par
Glapion Moderateurre : Démonstration module complexe 09-09-17 à 18:54

7MK tu es vraiment encore en Terminale ? parce que ça parait bien difficile pour un niveau
Terminale cet exercice !
si non, mets ton profil à jour.

Posté par
lakere : Démonstration module complexe 09-09-17 à 21:02

>>carpediem

Je crois que 18h34 est bon avec la symétrie du problème par rapport à l' axe des réels

Juste une erreur de frappe: |z^2+1| au début

Reste plus qu' à montrer que |z^2+1|\geq \dfrac{5}{4} (atteint pour z=-\dfrac{1}{2})

Posté par
lakere : Démonstration module complexe 10-09-17 à 21:55

Avec la forme trigonométrique, on trouve sans difficultés:

  \dfrac{5}{4}\leq |z^2+1|\leq \dfrac{13}{4}

Posté par
carpediemre : Démonstration module complexe 11-09-17 à 09:46

bon je vais essayer ... merci ...

j'avais pensé à la forme trigo ... mais j'avoue que je n'ai pas cherché réellement ...

(en plus je suis quasi persuadé l'avoir fait l'année dernière ""simplement"" mais je ne le retrouve plus)

Posté par
7MKre : Démonstration module complexe 11-09-17 à 13:25

Ok merci à lake et carpediem

Il n'y a donc pas d'autre méthode à part la méthode géométrique ?

Glapion je viens juste d'avoir le bac , c'est un camarade qui m'a envoyé cet exercice .Cela doit être sûrement un exercice de 1ere année

Posté par
lakere : Démonstration module complexe 11-09-17 à 15:36

Citation :
Il n'y a donc pas d'autre méthode à part la méthode géométrique ?


Je pensais que oui:

Citation :
Avec la forme trigonométrique, on trouve sans difficultés:

  \dfrac{5}{4}\leq |z^2+1|\leq \dfrac{13}{4}



Mais au niveau lycée, il y a des difficultés dont je viens de me rendre compte et je m' en excuse auprès de carpediem:

Soit M d' affixe z appartenant au cercle de centre A d' affixe -1 et de rayon -\dfrac{1}{2}

  Posons z=\dfrac{1}{2}\,e^{i\theta}-1 avec \theta\in]-\pi,+\pi]

On cherche l' image de ce cercle par l' application z\mapsto z^2+1

z^2+1=\dfrac{1}{4}\,e^{2i\theta}-e^{i\theta} +2

La fonction de \theta étant 2\pi périodique, la courbe correspondante est fermée.

Et c' est là qu' interviennent les difficultés auxquelles je faisais allusion:

  Cette courbe fermée a-t-elle un "intérieur" et un "extérieur" ? Ce n' est pas si évident que ça...
  Des arguments de topologie et d' analyse complexe (connexité, continuité...) permettent certainement de conclure mais là, j'atteins mon niveau d' incompétence...

Si on admet que cette courbe est fermée sans point double et que l'image du disque de départ est l' intérieur de cette courbe, il n' y a aucun souci, mais le "si" fiche quasiment par terre tout ce qui suit:

  Après calculs, on obtient:

   |z^2+1|^2=2\left[\left(\cos\,\theta -\dfrac{9}{8}\right)^2+\dfrac{49}{64}\right]

|z^2+1| présente donc un minimum, respectivement un maximum pour cos\,\theta =1 respectivement \cos\,\theta=-1 sur ]-\pi,+\pi] \\

  C' est à dire \theta=0 respectivement \theta=\pi qui donnent:

   \dfrac{5}{4}\leq |z^2+1|\leq \dfrac{13}{4}

Un petit dessin pour illustrer mon "incompétence":

Démonstration module complexe

Posté par
lakere : Démonstration module complexe 11-09-17 à 15:39

Bon, je voulais plutôt  poster ceci:

Démonstration module complexe

Posté par
lakere : Démonstration module complexe 11-09-17 à 16:09

Citation :
Si on admet que cette courbe est fermée sans point double et que l'image du disque de départ est l' intérieur de cette courbe, il n' y a aucun souci, mais le "si" fiche quasiment par terre tout ce qui suit:


Il faut ajouter "et ne contient pas O"!

Posté par
Razesre : Démonstration module complexe 11-09-17 à 16:59

Bonjour,

J'avais un début de solution géométrique mais j'arrive en retard. C'est possible de transcrire la solution proposée par carpediem en nombres complexes.

Posté par
carpediemre : Démonstration module complexe 11-09-17 à 19:29

bravo à lake c'est un peu le procédé que je qualifiais de ""bourrin"" au sens calculatoire avec l'expression algébrique ... même si je suggérais l'expression exponentielle ... qui permet finalement d'avoir une solution assez simple

pour en revenir à ton pb avec f(z) = z^2 + 1 (mais effectivement ce n'est plus du niveau lycée)

plutôt que de considérer le cercle peut-être considérer le disque D(A(-1), 1/2) (ouvert/fermé)

f est holomorphe (donc ouverte) sur C donc sur le disque D et l'image f(D) de D est donc un ouvert/fermé qui contient f(-1) et le principe du maximum devrait permettre de conclure

et ça devrait permettre de conclure par connexité : l'image du cercle est une courbe fermée ...

enfin faudrait regarder tout cela plus rigoureusement ... c'est bien loin tout ça ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration module complexe 19-09-17 à 10:59

Bonjour,
Partie quelques jours sans Internet mais avec l'énoncé et vos idées, je propose deux solutions pas vraiment inédites.
La première est la traduction algébrique de la solution "avec y 0" de carpediem. C'est un peu tordu mais répond un peu à " Il n'y a donc pas d'autre méthode à part la méthode géométrique ? "
z2 + 1 = (z+i)(z-i) . On va minorer |z+i| puis |z-i| .

Avec z = x+iy et |z+1| < 1/2 , on a (x+1)2 + y2 < 1/4 .
D'où (x+1)2 < 1/4 ; donc -1/2 < x+1 < 1/2 ; donc x < -1/2 . Enfin x2 > 1/4 .
|z+i|2 = x2 + y2 + 2y + 1 . Si y 0 alors |z+i|2 > 1/4 + 1 .

Pour |z-i| , on utilise |z-i| = |i-z| et (i-z) + (z+1) = 1+i .
|1+i| |z-i| + |z+1| < |z-i| + 1/2 .
D'où 2 < |z-i| + 1/2 qui donne |z-i| 2 - 1/2 .

Par produit |z2 + 1| > ( 2 - 1/2)(5)/2 > 1 .

Si y < 0 , en posant z' = \bar{z} , on a |z'+1| = |z+1| et |z'2 + 1| = |z2 + 1| avec y' > 0 .


Un autre message va suivre pour la seconde solution plus "visuelle" à priori.

Posté par
lakere : Démonstration module complexe 19-09-17 à 11:23

Bonjour Sylvieg,

  Je suis avec attention; j' attends la suite ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration module complexe 19-09-17 à 11:37

Finalement, en mettant au propre, plus de visuel du tout !

Avec z = x+iy et x, y réels. 1+z2 = (1+x2- y2) + 2xy i .

|1+z2|2 = (1+x2- y2)2 + 4x2y2 = 1 + 2(x2- y2) + (x2- y2)2 + 4x2y2

|1+z2|2 = 1 + 2(x2- y2) + (x2+ y2)2 .

Or x2 > 1/4 démontré dans le message précédent.
Et y2 < 1/4 encore plus évident à partir de (x+1)2 + y2 < 1/4 .
D'où x2 - y2 > 0 .

Trop beau pour être vrai ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration module complexe 19-09-17 à 11:39

Bonjour lake
Je suis prête à recevoir les erreurs non détectées...

Posté par
lakere : Démonstration module complexe 19-09-17 à 13:07

Pas vu d' erreur; finalement les modules avec les cartésiennes sont rentables!

  11h37 me plait bien

  Je me demande si on ne peut pas aller jusqu'à \dfrac{5}{4} (au lieu de1) avec tes méthodes...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration module complexe 19-09-17 à 14:34

Pour la solution de 11h37, je pensais avoir à utiliser du "visuel" pour x2-y2 > 0 .
Finalement tout vient de x2 > 1/4 que j'ai démontré pour l'autre méthode (mais deviné en utilisant une figure...).
C'est toujours étonnant d'aboutir à une solution presque élémentaire, en tout cas du niveau terminale, après plusieurs phases de simplification à partir de mon cheminement de départ très alambiqué.

En fait, seul est utilisé (x+y)(x-y) > 0 .
Pour aller jusque 5/4 , Il y a peut-être moyen d'obtenir quelque chose comme
(ax+y)(ax-y) 0 avec a = tan(/6)
J'ai remarqué que (5/4)2 = 25/16 = 1 + (3/2)4 .

Posté par
carpediemre : Démonstration module complexe 19-09-17 à 18:35

bravo pour ces efforts ...

je suis presque surement au sens probabiliste sur de l'avoir déjà fait et sur ce site ... et il ne me semble pas avoir autant galéré ou avoir à jouer avec finesse sur les modules et des majorations/minorations comme tu l'as fait ... mais je ne trouve plus  ...

Posté par
lakere : Démonstration module complexe 20-09-17 à 12:03

Bon,  je l' ai refait en partant de z=r\,e^{i\theta}-1 avec r\in\left[0,\dfrac{1}{2}\right[ et \theta \in [0,2\pi[

et je suis bien arrivé (cette fois ci rigoureusement et en restant au niveau terminale) à \dfrac{5}{4}<|z^2+1|<\dfrac{13}{4}

Si ça vous intéresse, je poste; bien sûr, c' est un peu "calculatoire"...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration module complexe 20-09-17 à 13:58

Mais oui, ça m'intéresse !!!

Posté par
lakere : Démonstration module complexe 20-09-17 à 17:23

Rien d' extraordinaire mais on aboutit.

On part donc de z=re^{i\theta}-1 avec r\in\left[0,\dfrac{1}{2}\right[ et \theta\in[0,2\pi[

z^2+1=r^2e^{2i\theta}-2re^{i\theta}+2=r^2\,\cos\,2\theta-2r\,\cos\,\theta+2+i(r^2\,\sin\,2\theta-2r\,\sin\,\theta)

Après calculs, on obtient:

|z^2+1|^2= f_r(\theta)=4r^2\,\cos\,\2\theta-4r(r^2+2)\,\cos\,\theta+(r^2+2)^2

On étudie les variations de f_r:

pour r\not=0, f'_r(\theta)=4r\,\sin\,\theta\left(\dfrac{r^2+2}{4r}-\cos\,\theta\right)

On vérifie que sur \left]0,\dfrac{1}{2}\right[, \dfrac{r^2+2}{4r}>1

  en sorte que f'_r(\theta) est du signe de \sin\,\theta sur [0,2\pi[

f_r présente donc un minimum m(r) en 0 et un maximum M(r) en \pi

   m(r)=f_r(0)=r^4-4r^3+8r^2-8r+4 et M(r)=f_r(\pi)=r^4+4r^3+8r^2+8r+4

Reste à étudier les variations de m et M sur \left[0,\dfrac{1}{2}\right[

  m'(r)=4(r-1)(r^2-2r+2) du signe de r-1 donc négatif sur \left[0,\dfrac{1}{2}\right[

  M'(r)=4(r+1)(r^2+2r+2)  du signe de r+1 donc positif sur \left[0,\dfrac{1}{2}\right[

Sur \left[0,\dfrac{1}{2}\right[, m présente donc un minimum en \dfrac{1}{2} et m\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{25}{16}=\left(\dfrac{5}{4}\right)^2

Sur \left[0,\dfrac{1}{2}\right[, M présente donc un maximum en \dfrac{1}{2} et M\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{169}{16}=\left(\dfrac{13}{4}\right)^2

    On a bien \dfrac{5}{4}<|z^2+1|<\dfrac{13}{4}

Démonstration module complexe

  On a de la chance: les calculs se passent très bien. Bon ça manque d'élégance...

Posté par
lakere : Démonstration module complexe 20-09-17 à 17:28

Évidemment une erreur:

  Après calculs, on obtient:

|z^2+1|^2= f_r(\theta)=4r^2\,\cos\,2\theta-4r(r^2+2)\,\cos\,\theta+(r^2+2)^2

Posté par
carpediemre : Démonstration module complexe 20-09-17 à 18:15

il est vrai que ce n'est pas compliqué en soi ...

c'est effectivement de niveau terminale ... mais je ne pense pas qu'un terminale soit capable de mener de bout en bout l'ensemble sans aide

en tout cas

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration module complexe 20-09-17 à 21:44

Voilà 5/4 et 13/4 démontrés sans géométrie
A mon avis, ce n'est pas par hasard que les calculs se passent bien. Il y a quelque chose de caché derrière, mais quoi ?

Sinon, l'exercice de départ est avec |z2+1|> 1 .
S'il y a une question intermédiaire genre " démontrer que x < -1/2 " , on peut considérer que c'est du niveau terminale ; mais est-ce intéressant ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration module complexe 21-09-17 à 08:01

Bonjour,
La nuit porte conseil...
Le résultat, assez étonnant, sin = 0 correspond à y = 0
Autrement dit, sur le cercle de rayon r , minimum et maximum sont atteints pour y = 0 .
On doit pouvoir le retrouver à partir de mon |1+z2|2 = 1 + 2(x2- y2) + (x2+ y2)2 .

Pour ça, il faut aussi se placer sur le cercle de centre r avec r < 1/2 .
y2 = r2 - (x+1)2 et x [-1-r ; -1+r] .

" Après calculs, on obtient " :
gr(x) = |1+z2|2 = 8x2 + 4x(2-r2) + 4 + r4 - 4r2

gr '(x) = 16x + 4(2-r2) = 16 (x+1/2) - 4 r2
Or x -1+r < -1/2 donc gr '(x) < 0 et gr est décroissante sur [-1-r ; -1+r] .

Le maximum est gr(-1-r) et le minimum est gr(-1+r) .
On retrouve M(r) et m(r)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration module complexe 21-09-17 à 08:12

Et puis voilà encore une simplification pour la fin
Puisque les extrémums sont obtenus avec y = 0 :
z = x et z2+1 = x2+1 .

Avec -3/2 < x < -1/2 , il est facile d'encadrer x2+1 qui est le module de z2+1 .

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration module complexe 21-09-17 à 08:58

J'en rajoute une couche :
Avec z = -1 r , on retrouve m(r) et M(r) en calculant (1+z2)2 .

Posté par
lakere : Démonstration module complexe 21-09-17 à 09:38

Bonjour Sylvieg,

J' allais poster quelque chose dans ce genre là mais tu as tout dit!

On peut juste ajouter (mais rien de nouveau après ce que tu as posté) que les extremas étant sur le diamètre réel des cercles de centre A(-1) et de rayon r, la fonction z\mapsto |z^2+1| qui devient la fonction d' une variable réelle x\mapsto x^2+1 à un minimum pour x=0 c' est à dire r=1 (qui correspond à l' origine).
Rien d' étonnant à ce qu' on ait un minimum pour m en 1

Je reviens juste sur ceci:

  

Citation :
Pour aller jusque  5/4 , Il y a peut-être moyen d'obtenir quelque chose comme  
(ax+y)(ax-y) 0    avec    a = tan(/6)  


  J' y ai cru mais hélas, j' ai vite déchanté:

   Démonstration module complexe

Dans la région entre le cercle et la droite d' équation x=-\dfrac{1}{2}, il y a des points M(z) où |z^2+1|<\dfrac{5}{4}. C' était cuit d' avance.

Mais Geogebra est un formidable outil!

Posté par
lakere : Démonstration module complexe 21-09-17 à 10:22

Et maintenant ?

On pose des questions intermédiaires (nombreuses), on claque au travers un calcul d' aire (qui tomberait un peu comme un cheveu sur la soupe) avec les deux courbes de m et M et on a un joli problème de bac, non ?

Posté par
carpediemre : Démonstration module complexe 21-09-17 à 10:55

certes oui ... mais je ne vois pas pourquoi on peut affirmer simplement que les extrema ont lieu pour M sur le cercle ...

évidemment une fois cela obtenu le résultat est simple ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration module complexe 22-09-17 à 14:35

Bonjour,
Pas d'idée lumineuse cette nuit !
Une remarque sur

Citation :
On peut juste ajouter (mais rien de nouveau après ce que tu as posté) que les extremas étant sur le diamètre réel des cercles de centre A(-1) et de rayon r, la fonction z\mapsto |z^2+1| qui devient la fonction d' une variable réelle x\mapsto x^2+1 à un minimum pour x=0 c' est à dire r=1 (qui correspond à l' origine).
Rien d' étonnant à ce qu' on ait un minimum pour m en 1

Attention à cette histoire d'extrémum sur l'axe des abscisses. Ce n'est pas valable pour r quelconque.
En particulier, pour r = 1 , je pense que le minimum de |z2+1| est obtenu pour x = -1/4 .
Mais pas pour x = 0 .
Avec x = -1/4 et y = (7)/4 on est bien sur le cercle de centre d'affixe -1 et de rayon 1 .
1 + z2 = (5-i7) / 8 et |1 + z2| < 1 .

Sauf erreur de ma part, on trouve |1 + z2|2 = 1/2 ; ce qui est étonnant par sa simplicité !

Posté par
lakere : Démonstration module complexe 22-09-17 à 14:55

Tu as raison Sylvieg !
Je commence à écrire des bêtises; il est grand temps pour moi de lâcher ce topic !  

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration module complexe 22-09-17 à 17:04

Mais non, ça m'a donné envie d'approfondir encore.
Chercher quand les extrémums sont sur l'axe des abscisses.
Je subodore qu'il y a quelque chose de simple derrière tout ça. Ce 1/2 après être passé par 7
carpediem le pense aussi.

Sinon, plutôt qu'un problème de bac, j'aurais vu une énigme genre :
A est le point d'affixe - 1 . M est le point d'affixe z .
D est le disque, frontière comprise, de centre A et de rayon 2-2 .
Quel est le minimum et le maximum de |z2+1| pour M dans D ?

Posté par
carpediemre : Démonstration module complexe 22-09-17 à 20:10

|z^2| = |z^2 + 1 - 1| => |z^2 + 1| > |z^2| - 1 > \dfrac 1 2 - 1 = - \dfrac 1 2

damned j'ai écrit une tautologie ... qui ne sert à rien ...

rien de simple ne vient ...

autre chose :

|z^2| = |z^2 + 1 - 1| => |z^2 + 1| > |z^2| - 1 = (|z| + 1)(|z| - 1) = p

or  |z + 1| < 1/2 => 1/2 < |z| < 3/2 \iff 3/2 < |z| + 1 < 5/2  et  -1/2 < |z| - 1 < 1/2

0 < |z| -1 < 1/2 => 0 < p < 5/4

-1/2 < |z| - 1 < 0 => -5/4 < p  < 0


donc -5/4 < p < 5/4 et par conséquent |z^2 + 1| > 5/4             ..........et égalité lorsque z = -\dfrac 1 2


yesss je crois bien que j'y suis arrivé ... (enfin la moitié du boulot !!!)

on va prier pour qu'il n'y ai pas d'erreur



je vous laisse la majoration

Posté par
carpediemre : Démonstration module complexe 22-09-17 à 20:19

encore plus simple !!!

|z^2 + 1| < |z^2| + 1

or 1/2 < |z| < 3/2 => 1/4 < |z^2| < 9/4

donc |z^2 + 1| < 13/4                .......... et égalité lorsque z = -\dfrac 3 2



put.... je me suis transcendé sur ce coup là

Posté par
lakere : Démonstration module complexe 22-09-17 à 20:42

Je ne comprends pas:

Sans parler de l' encadrement de p:

   avec |z^2+1|>p  et  -\dfrac{5}{4}<p<\dfrac{5}{4}, je ne vois pas comment tu peux conclure:

    |z^2+1|>\dfrac{5}{4}

?


  

Posté par
lakere : Démonstration module complexe 22-09-17 à 20:44

Même problème à 20h42

Posté par
lakere : Démonstration module complexe 22-09-17 à 20:44

Plutôt 20h19

Posté par
lakere : Démonstration module complexe 22-09-17 à 20:48

Ah si! pour la majoration, ça marche

Posté par
carpediemre : Démonstration module complexe 22-09-17 à 20:48

z^2 + 1 < |z^2| + 1 < Max_{|z + 1| < 1/2} |z^2| + 1 = 13/2

Posté par
carpediemre : Démonstration module complexe 22-09-17 à 20:50

ha nos msg se croisent !!

oui la majoration ça marche

et effectivement ce que j'ai fait pour la minoration ne marche pas

puisque par analogie je dois prendre le min qui est -5/4 ... et on retombe sur ma tautologie !!! inutile

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration module complexe 22-09-17 à 22:43

Dans le dernier message, un petit 4 sous le 13 au lieu du 2 , et c'est parfait pour la majoration

Je n'ai pas le temps de regarder en détail pour le moment ; mais je le ferai avec attention plus tard

J'étais restée dans l'utilisation de |z2+1| 2 = 2 (4x + 2 - r2) 2 + (2 - r2) 2 / 2 .

Posté par
carpediemre : Démonstration module complexe 22-09-17 à 22:48

et j'ai oublié le module au début : je réécris :

|z^2 + 1| < |z^2| + 1 < Max_{|z + 1| < 1/2} |z^2| + 1 = 13/4

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