en fait la methode est assez simple et se divise en 3 etape :
La première tu verifie ke ce quon ta donnée est vrai au rang 0 (normalement on te le donne ou tu le connais)

Ensuite tu admet que la propriété est vrai pour u(n)
Et pour finir tu cherche a prouver que la propriété est vrai pour u(n+1) en sachant que u(n) est vraie (ché pas si c'est très clair...).
Donc tu fais tout ton calcul avec u(n+1) jusqu'& trouver une epression qui est toujorus vrai ( la plupart du temps avec u(n))

Ensuite tu dis que tu sais que u(0) est vrai et u(n+1) vraie, donc de proche en proche u(n) est tjrs vrai.

Je sais pas si c'est clair je sais pas très bien expliquer en fait...

Bonjour laptiote

Comme dit Titchan

pour n=1
O²+1²=1
[n(n+1)(2n+1)]/6 = 1(1+1)(2+1)/6=1
pour n=1 c'est vrai

Tu suppose vrai à l'ordre n
S(n)=0²+1²+...+(n-1)²+n²=[n(n+1)(2n+1)]/6 (AA)

Tu calcules S(n+1)
Par définition de S(n), S(n+1)=S(n)+(n+1)²
Tu reprends la déf. de S(n) supposée vraie : S(n)=[n(n+1)(2n+1)]/6
=> S(n+1)=[n(n+1)(2n+1)]/6+(n+1)²
mets (n+1) en facteur
S(n+1)=(n+1)[n(2n+1)/6 +(n+1)]
développes le crochet
S(n+1)=(n+1)[2n²+n+6n+6]/6=(n+1)[2n²+7n+6]/6
or 2n²+7n+6=(n+2)(2n+3)=( (n+1)+1 )( 2(n+1)+1 )
donc
S(n+1)= ( n+1 )( (n+1)+1 )( 2(n+1)+1 )/6
Ainsi S(n+1) n'est autre que l'expression de S(n) en (AA), supposée vraie (hypothèse de récurrence), dans laquelle tu as remplacén par n+1
C'est démontré.

Philoux

Supposons que l'expression 0²+1²+...+n² = [n(n+1)(2n+1)]/6 soit vraie pour une certaine valeur k de n, on a alors:

0²+1²+...+k² = [k(k+1)(2k+1)]/6

0²+1²+...+k² + (k+1)² = [k(k+1)(2k+1)]/6 + (k+1)²

0²+1²+...+k² + (k+1)² = [k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)²]/6

0²+1²+...+k² + (k+1)² = [(k+1).(k.(2k+1) + 6(k+1))]/6

0²+1²+...+k² + (k+1)² = [(k+1).(2k²+k + 6k + 6 )]/6

0²+1²+...+k² + (k+1)² = [(k+1).(2k²+ 7k + 6 )]/6

Or 2k²+ 8k + 6 = (k+2)(2k+3) -->

0²+1²+...+k² + (k+1)² = [(k+1).(k+2).(2k+3)]/6

0²+1²+...+k² + (k+1)² = [(k+1).(k+2).(2(k+1)+1)]/6

On remarque que cette dernière expression est identique à 0²+1²+...+n² = [n(n+1)(2n+1)]/6 dans laquelle on aurait n = k+1.
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On a donc montré que si on l'expression 0²+1²+...+n² = [n(n+1)(2n+1)]/6 était vraie pour une certaine valeur k de n, elle était aussi vraie pour n = k+1  (1)
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Montrons que 0²+1²+...+n² = [n(n+1)(2n+1)]/6 est vraie pour n = 0.

0² =? 0.(0+1).(0+1)
--> OK

L'expression 0²+1²+...+n² = [n(n+1)(2n+1)]/6 est vraie pour n = 0.

Comme l'expression 0²+1²+...+n² = [n(n+1)(2n+1)]/6 est vraie pour n = 0, par (1), elle est vraie aussi pour n = 1.
Comme l'expression 0²+1²+...+n² = [n(n+1)(2n+1)]/6 est vraie pour n = 1, par (1), elle est vraie aussi pour n = 2.
Comme l'expression 0²+1²+...+n² = [n(n+1)(2n+1)]/6 est vraie pour n = 2, par (1), elle est vraie aussi pour n = 3.

Et ainsi de proche en proche, l'expression 0²+1²+...+n² = [n(n+1)(2n+1)]/6 est vraie pour tout n de N
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Sauf distraction.  

lorsque vous écrivez:
Montrons que 0²+1²+...+n² = [n(n+1)(2n+1)]/6 est vraie pour n = 0.

0² =? 0.(0+1).(0+1)???????
--> OK

L'expression 0²+1²+...+n² = [n(n+1)(2n+1)]/6 est vraie pour n = 0.


on ne prend en compte dans l'expression de gauche que le n² que l'on remplace par 0?????

Oui car 0² est le premier terme de la suite

Si c'était 1 on fera 0²+1² . Si c'était 2 se serait 0²+1²+2² etc..


Jord

merci.....

dans mon ennoncé il n'y a pas de 0²+1²+... ca démarre directement à 1²
cela veut donc dire que mon premier terme de ma suite est 1
et donc cela change pas la démonstration il suffit juste que je commence la démonstration avec n=1 et que au lieu d'ajouté (k+1)² j'ajoute uniquement k²???? c'est bien cela??
début de la démonstration:
1²+...+k² = [k(k+1)(2k+1)]/6

1²+...+k² + (k)² = [k(k+1)(2k+1)]/6 + (k)²
c'est ca???