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demonstration par reccurrence

Posté par
merevic10 17-02-23 à 11:52

bonjour à tous!
Comment montrer que pour tout n impair et superieur à 2, on a:
a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1}).

Posté par
merevic10re : demonstration par reccurrence 17-02-23 à 11:55

il se pourrait qu'il y ait un lien avec la relation a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}. Mais je ne parviens pas à l'établir.

Posté par
heklare : demonstration par reccurrence 17-02-23 à 12:11

Bonjour

+b= -(-b)

Posté par
merevic10re : demonstration par reccurrence 17-02-23 à 12:16

ah oui je vois le lien maintenant. Merci beaucoup.

Posté par
carpediemre : demonstration par reccurrence 17-02-23 à 12:59

salut

pour une récurrence il n'y a pas à utiliser la relation avec un moins :

P(n) : a^n + b^n = (a + b)(a^{n - 1}-a^{n - 2}b+\cdots - ab^{n - 2} + b^{n - 1})  hypothèse de récurrence

a^{n + 2} + b^{n + 2} = a^2(a^n + b^n) + b^2(a^n + b^n) - a^2b^n - b^2a^n = ...

Posté par
heklare : demonstration par reccurrence 17-02-23 à 13:42

Le titre ne semblait pas être en adéquation avec la question.

De rien

Posté par
Sylvieg Moderateurre : demonstration par reccurrence 19-02-23 à 10:57

Bonjour,
Faire une récurrence pour cette égalité est franchement pas agréable.
Il est plus facile de démontrer celle-ci :
1+qn = (1+q)(1-q+q2- .... + qn-1).
Avec n impair. Puis remplacer q par b/a.
En faisant comme si on ignorait les formules de première sur les sommes de certains termes.

Sinon, utiliser cette égalité me semble plus simple que celle du 17 à 12h59 :

a^{n + 2} + b^{n + 2} = a^{n + 2} + b^na^2 + b^{n + 2} - a^2b^n


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