Démonstration par récurrence... : exercice de mathématiques de Licence-pas de math

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Démonstration par récurrence...
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olange  10-10-19 à 15:37
Bonjour,

Je n'ai jamais fait de démonstration par récurrence de toute ma vie et je ne comprends rien... Pouvez-vous m'expliquer svp ?

Voici l'énoncé ainsi que ce que j'ai fait pour le moment, qui est sûrement faux :

Démontrez par récurrence que pour tout n ∈ N∗, le nombre n3 - 10n + 12 est un multiple de 3.

Initialisation :

Au rang n=1 : 13 - 10 × 1 + 12 = 3 (multiple de 3)

Hérédité :

On suppose que pour un certain k entier naturel : k3 - 10k + 12 est un multiple de 3 :

(k + 1)3 - 10 × (k + 1) + 12

(k3 + 3k2 × 1 + 3 × k × 13) - 10k - 10 + 12

(k3 + 3k2 + 3k + 1) - 10k - 10 + 12

k3 + 3k2 + 3k - 9 - 10k + 12

(k3 - 10k + 12) + 3k2 + 3k - 9

k3 - 10k + 12 s'écrit 3K avec K entier

Donc (k + 1)3 - 10(k + 1) + 12 = 3K + 3k2 + 3k - 9

= 3(K + k2 + k - 3)
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larrechre : Démonstration par récurrence...  10-10-19 à 15:47
Bonjour,

Oui, c'est bien ça. Supposée vraie pour k, on montre alors que la propriété est vraie pour le suivant k+1. Comme elle est vraie pour k=1, elle est établie par récurrence pour tout k .
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olangere : Démonstration par récurrence...  10-10-19 à 15:48
Bonjour,

Je suis d'accord mais qu'est-ce qui est faux dans ce que j'ai fait ? Et/ou qu'est-ce qu'il manque ? merci
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jsvdbre : Démonstration par récurrence...  10-10-19 à 15:51
Bonjour olange.

C'est bon, il y a juste que 

Citation :
Hérédité :

On suppose que pour un certain k entier naturel : k3 - 10k + 12 est un multiple de 3 :

Est à remplacer par : 

Soit k un entier naturel quelconque (et pas "un certain", comme s'il était déterminé). On suppose k3 - 10k + 12 est un multiple de 3 etc etc.

Je sais que la nuance est subtile, mais elle est bien réelle.
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Ulmierere : Démonstration par récurrence...  10-10-19 à 15:53
Il y a une petite erreur de calcul à la deuxième ligne de l'hérédité, qui a été corrigée dans la troisième. La rédaction pourrait être améliorée en faisant des phrases, et surtout en faisant usage du signe  entre tes lignes.

A part ça le raisonnement est correct 
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jsvdbre : Démonstration par récurrence...  10-10-19 à 15:55
... et ce que j'ai précisé 
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carpediemre : Démonstration par récurrence...  10-10-19 à 20:26
salut

donc  est autant multiple de 3 que ne l'est (n - 1)n(n + 1)

et évidemment (n - 1)n(n + 1) est trivialement multiple de 3 ...

tu peux donc continuer à ne pas faire de récurrence ...

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Ulmierere : Démonstration par récurrence...  10-10-19 à 20:31
Plus rapide encore, on montre que le polynôme réduit dans Z/3Z est nul

et effectivement,  dans Z/3Z

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carpediemre : Démonstration par récurrence...  10-10-19 à 20:33
MDR

c'est exactement la même chose que moi ... avec la notion de congruence ... dont je me suis passé ...

à la limite c'est du pédantisme ...

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Ulmierere : Démonstration par récurrence...  10-10-19 à 20:36
Certes, mais cette technique marche pour d'autres entiers que 3 et surtout, évite les développements de Newton fastidieux grâce au morphisme de Frobenius 
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carpediemre : Démonstration par récurrence...  10-10-19 à 20:49
vas-y ... continue à étaler ton savoir ...

je n'ai nul besoin de morphisme de Frobenius pour montrer que le produit de p entiers consécutifs est multiple de p ... juste de la division euclidienne apprise en primaire ...