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Démonstration par récurrence

Posté par
Tiantio
15-09-21 à 19:55

Bonjour à toutes et à tous !

Exo : Montrer par récurrence que, pour tout n £ IN avec n>=3, il existe n nombres naturels x1, x2, …, xn £IN tels que 2<= x1 < x2 < … < xn et que
(1/x1) + (1/x2) + … + (1/xn)  = 1.


Voilà ce que j'aie fait : initialisation : pour n = 3, on a (1/x1) + (1/x2) +(1/x3) = 1( j'arrive pas à montrer)

Merci pour vos suggestions

Posté par
carpediem
re : Démonstration par récurrence 15-09-21 à 20:07

salut

avec un peu de calcul mental :

puisqu'on a 1/2 + 1/2 = 1 comment peut-on écrire 1/2 comme somme de deux fractions (en respectant les conditions de l'énoncé) ?

Posté par
Tiantio
re : Démonstration par récurrence 15-09-21 à 20:14

Oui, 1/2  = 1/3 + 1/6.

Posté par
Tiantio
re : Démonstration par récurrence 15-09-21 à 20:23

Donc 1 = 1/2 + 1/3 + 1/6

Posté par
DOMOREA
Démonstration par récurrence 16-09-21 à 12:14

bonjour,
l'initialisation étant traitée, comment poursuis-tu ?

Posté par
Tiantio
re : Démonstration par récurrence 16-09-21 à 13:47

Bonjour
Je suppose que la propriété est vraie au rang  n c'est-à-dire (1/x1) + (1/x2) + … + (1/xn) et je montre qu'elle est vraie au rang n+1 mais j'ai un doute, je donne des valeurs à x1, …, xn ?

Posté par
Tiantio
re : Démonstration par récurrence 16-09-21 à 13:48

* (1/x1) + (1/x2) + … + (1/xn) = 1

Posté par
GBZM
re : Démonstration par récurrence 16-09-21 à 14:30

Citation :
Je suppose que la propriété est vraie au rang  n c'est-à-dire (1/x1) + (1/x2) + … + (1/xn)=1

Formule clairement et complètement l'hypothèse de récurrence :

Il existe des entiers naturels x_1,\ldots x_n tels que 2\leq x_1<x_2<\ldots<x_n  et que
1= \dfrac1{x_1}+\cdots+\dfrac1{x_n}.

Ensuite, essaie au moins de passer à n=4 à partir de

1=\dfrac12+\dfrac13+\dfrac16
Que proposes-tu ?

Posté par
Tiantio
re : Démonstration par récurrence 16-09-21 à 14:51

1 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12.

Posté par
GBZM
re : Démonstration par récurrence 16-09-21 à 14:55

Oui, 1=\dfrac12+\dfrac12\left(\dfrac12+\dfrac13+\dfrac16\right).

Bon, tu conclus pour ton exercice ?

Posté par
Tiantio
re : Démonstration par récurrence 16-09-21 à 15:02

Merci, j'ai compris 😊

Posté par
GBZM
re : Démonstration par récurrence 16-09-21 à 15:12

Fais attention à rédiger clairement et complètement.

Posté par
Tiantio
re : Démonstration par récurrence 16-09-21 à 15:22

D'accord, c'est compris !

Posté par
carpediem
re : Démonstration par récurrence 16-09-21 à 16:10

on peut aussi considérer \dfrac 1 n = \dfrac 1 {n + 1} + \dfrac 1 {n(n + 1)}

à appliquer au dernier termes de la solution précédente ...

Posté par
Tiantio
re : Démonstration par récurrence 16-09-21 à 16:45

Merci bien

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démonstration par récurrence 16-09-21 à 17:03

Bonjour,
Un petit complément :

Soit \; S_{n} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3^{2}} + ... + \dfrac{1}{3^{n-2}} + \dfrac{1}{3^{n-2}\times 2} .
Que donne cette somme de n termes ?

Posté par
DOMOREA
Démonstration par récurrence 16-09-21 à 17:24

c'est là que l'on voit que la décomposition n'est pas unique
pour n=4 on a par exemple
a)  1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12    ou
b)  1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/18   ou
c)  1/2 + 1/3 +1/7 + 1/42 (carpediem)

La méthode de carpediem conserve les n-1 premières fractions
celle de GBZM bouleverse un peu la série.
Il me semble que la méthode de GBZM ou tout au moins comme je l'avais utilisée et à laquelle j'avais pensé exige d'ajouter dans l'hypothèse de récurrence que le dénominateur x_nde la dernière fraction est pair ce qui est vrai

Posté par
Tiantio
re : Démonstration par récurrence 16-09-21 à 20:29

Pour Sylvieg, je suis en train de chercher mais pour l'instant, je n'ai trouvé pas trouver le résultat de la somme.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démonstration par récurrence 16-09-21 à 20:55

C'est un complément ; donc pas d'obligation

Commence par réduire cette somme : \; \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3^{2}} + ... + \dfrac{1}{3^{n-2}}

Posté par
GBZM
re : Démonstration par récurrence 16-09-21 à 23:13

Citation :
Il me semble que la méthode de GBZM ou tout au moins comme je l'avais utilisée et à laquelle j'avais pensé exige d'ajouter dans l'hypothèse de récurrence que le dénominateur x_nde la dernière fraction est pair ce qui est vrai

Non, absolument pas.



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