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Démonstration par récurrence plusieurs inégalités

Posté par
Seko 20-09-20 à 15:51

Salut à tous, j'ai plusieurs éxos à faire pour demain et je bloque sur celui là, merci de vos réponses :
Soit (Un), la suite définie par u0=10 et pour tout n appartient à N,
u_{n+1}=\sqrt{u_{n}+5}
Montrer par récurrence que pour tout n appartenant à N,
2,5\leq u__{n+1}\\leq u_{n}\leq 10
J'ai juste réussi l'étape de l'initialisation, j'ai fait :
Initialisation : Pour n=0, on a  :
2,5\leq \sqrt{15}\leq 10\leq 10, donc la propriété est vraie pour n=0
Je suis bloqué à l'hérédité, je ne sais pas comment m'y prendre avec toutes ces inégalités
merci de votre aide

Posté par
malou Webmasterre : Démonstration par récurrence plusieurs inégalités 20-09-20 à 15:57

Bonjour
j'ajouterais volontiers 5 à tous les membres de tes inégalités
puis prendre la racine carrée (fonction croissante)

Posté par
Sekore : Démonstration par récurrence plusieurs inégalités 20-09-20 à 16:04

malou @ 20-09-2020 à 15:57

Bonjour
j'ajouterais volontiers 5 à tous les membres de tes inégalités
puis prendre la racine carrée (fonction croissante)

Merci de votre réponse, donc ça donne :
7,5\leq u_{n+1}+5\leq u_{n}+5\leq 15 dans un premier temps,
puis je fais la même chose en rajoutant la racine carrée ?

Posté par
malou Webmasterre : Démonstration par récurrence plusieurs inégalités 20-09-20 à 16:06

on n'ajoute pas la racine carrée ! des termes positifs et leur racine carrée sont rangées dans le même ordre
dit autrement la fonction racine carré est croissante sur R+


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