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demonstration pour ds

Posté par
Florineboss20
04-12-21 à 17:10

Bonjour j'aurai besoin d'aide pour la compréhension  de la démonstration ci dessous

Démonstration par l'absurde  pour prouver que la suite (-1)^n  , est divergente donc on suppose quelle est convergente  vers un limite L et on montre qu'il y a une absurdité

Par la  définition d'une suite convergente on a
pour tout epsilon > 0 il existe un  N1 appartenant à l'ensemble des entiers naturel tel que |un-L|<=episilon  = |(-1)^n -L| <= epsilon
On pose episilon = 1/2 ( mais je ne comprends pas trop pq, enfaite pour ce type d'exercice je n'arrive jamais à trouver le bon epsilon  , )
Donc on |un-l|<1/2=| (-1)^n - L |<=1/2
Puis on distingue les cas quand n est pair ou impaire
soit n pair , n >=N1 on |1-l |<=1/2
soit n impair , n >=N1 on a |-1-L|<=1/2
donc (1+L)<=1/2 , donc 2= |2|=|1-L+1+L|<=|1-L|+|1+L|<=1 <=> 2<= 3 ABSURDITE (je ne comprend nn plus cette dernière ligne pq on parle de 2 tout à coup  .
Voilou j'espère que quelqu'un pourra m'aider !

Posté par
Zormuche
re : demonstration pour ds 04-12-21 à 17:27

Bonjour

d'où vient le 2 ? de nulle part ... Il est juste là pour exhiber une contradiction (2<=1), mais son origine, c'est un peu une astuce, rien d'intuitif.

Je te propose une façon plus intuitive de voir la chose :

Une fois qu'on trouve  |1+L|\le \dfrac12  et  |1-L|\le \dfrac12 , il suffit de traduire ça en terme d'ensembles

|1+L|\le\dfrac12\quad \Leftrightarrow \quad L\in\left[-1-\dfrac12,-1+\dfrac12\right]=\left[\dfrac{-3}2,\dfrac{-1}{2}\right]

|1-L|\le\dfrac12\quad \Leftrightarrow \quad L\in\left[1-\dfrac12,1+\dfrac12\right]=\left[\dfrac{1}2,\dfrac{3}{2}\right]

donc

\Bigg\{|1+L|\le\dfrac12\quad\text{et}\quad|1-L|\le\dfrac12\Bigg\}\quad\Longleftrightarrow L\in\left[\dfrac{-3}2,\dfrac{-1}{2}\right]\cap \left[\dfrac{1}2,\dfrac{3}{2}\right]

Et la, la contradiction est évidente. La vois-tu ?

Posté par
Florineboss20
re : demonstration pour ds 04-12-21 à 17:34

Bonjour et merci pour votre reponse rapide , mais je ne comprend pas trop votre équivalence,  pq L serait dans l'intersection .

Posté par
Florineboss20
re : demonstration pour ds 04-12-21 à 17:36

ah non c'est bon je comprend mais je ne vois pas la contracdiction c'est que les deux ensembles n'ont pas d'intersection ?

Posté par
Zormuche
re : demonstration pour ds 04-12-21 à 17:41

oui, c'est ça. Donc en gros, L appartient à l'ensemble vide, ce qui est très contradictoire avec le fait qu'on a supposé que L existait au début

Posté par
Zormuche
re : demonstration pour ds 04-12-21 à 17:49

Quant au choix d'epsilon, ici on choisit 1/2 pour une bonne raison. Parce qu'on sait que la suite alterne entre 1 et -1
on veut construire deux zones autour de ses deux valeurs, qui soient d'intersection nulle.
demonstration pour ds
Le choix de epsilon=1/2 est alors immédiat. Mais en réalité, on peut prendre n'importe quel epsilon strictement inférieur à 1.

Posté par
Florineboss20
re : demonstration pour ds 04-12-21 à 17:50

ah d'accord super merci ,et est ce que vous pourriez aussi m'expliquer comment on pose epsilon  parceque  je sais que le choix du epsilon est super important dans ce type d exos  théorique mais je n'ai compris  l'astuce pour le trouver

Posté par
Florineboss20
re : demonstration pour ds 04-12-21 à 17:51

ah mince je n'avais pas vu votre message attendez

Posté par
Florineboss20
re : demonstration pour ds 04-12-21 à 17:56

on veut montrer que leur intersection comme ça (-1)^n ne paurra etre à la fois dans les  deux ?

Posté par
Zormuche
re : demonstration pour ds 04-12-21 à 18:28

ça dépend des situations

En règle générale, si une suite alterne vers deux valeurs distinctes a et b,  on veut choisir  \varepsilon  tel que les deux ensembles [a-\varepsilon,a+\varepsilon]  et  [b-\varepsilon,b+\varepsilon]  soient disjoints.

C'est toujours possible de choisir un epsilon assez petit : l'écart entre a et b vaut |a-b|, il suffit de prendre epsilon strictement plus petit que la moitié de cet écart. Par exemple, \varepsilon=\dfrac{|a-b|}{4}  (ici). Mais si ça te chante, tu peux prendre  \varepsilon=\dfrac{|a-b|}{9389438293}

C'est d'ailleurs comme ça qu'on montre qu'une limite est unique : on commence par supposer l'existence d'au moins deux limites distinctes L_1 et L_2, on pose  \varepsilon=\dfrac{|L_1-L_2|}{4} , puis on arrive rapidement à la même contradiction

Posté par
Florineboss20
re : demonstration pour ds 04-12-21 à 21:00

oui mais pourquoi on veut que nos intervalles soient disjoints , c'est d'ailleurs ce que  je n'ai pas compris pour la démonstration de l'unicité de la limite d'une suite convergente aussi

Posté par
Zormuche
re : demonstration pour ds 04-12-21 à 21:24

Quand on comprend réellement ce que signifie la définition de convergence de la suite, c'est automatique

\forall \varepsilon>0 \quad \exists N\in\N \quad \forall n\ge N \quad u_n\in [L-\varepsilon,L+\varepsilon]

Cela signifie que pour tout voisinage  V = [L-\varepsilon,L+\varepsilon]  qu'on prend autour de  L , aussi petit soit-il, on sait qu'à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite seront dans  V.
\varepsilon  est le rayon du voisinage  V.

Alors que se passe-t-il si il existe deux limites distinctes ? On devrait pouvoir prendre deux voisinages, autour de chacune des limites, aussi petits qu'on veut, tels que à partir d'un certain rang les termes de la suite se situent dans les deux voisinages.

Sauf que ça, c'est impossible. Si on prend des voisinages trop petits autour des deux limites, l'intersection des voisinages devient vide. Donc on est en train de dire que les termes de la suite appartiennent à l'ensemble vide à partir d'un certain rang, ce qui est contradictoire

Donc quand tu démontres ce genre de chose, concrètement tu cherches un  \varepsilon  assez petit tel que les voisinages ne s'intersectent plus

Posté par
Florineboss20
re : demonstration pour ds 04-12-21 à 21:45

Donc ça veut dire si je comprend bien qu'on prend 2 intervalles distincts pour considérer le fait qu'il y est une seule limite

Posté par
Florineboss20
re : demonstration pour ds 04-12-21 à 21:50

mais du coup pour l'unité de la limite il se passerait quoi si les 2 intervalle serait égaux c'est à dire qu'il y aurait les meme epsilone?

Posté par
Zormuche
re : demonstration pour ds 04-12-21 à 22:18

la seule façon pour que les intervalles aux voisinages des deux limites ne soient jamais disjoints quel que soit leur rayon (c'est-à-dire quel que soit epsilon), c'est que les deux limites soient égales encore une preuve que la limite est forcément unique si elle existe

Par contre, rien à voir avec "même epsilon"

Posté par
Florineboss20
re : demonstration pour ds 04-12-21 à 23:04

heuuhhh ça repond à ma question ( ce n'est pas de l'ironie je ne comprend vraiment pas là )

Posté par
Zormuche
re : demonstration pour ds 05-12-21 à 00:02

Alors je n'ai pas compris ta question, peux-tu la reformuler ?

Posté par
Florineboss20
re : demonstration pour ds 05-12-21 à 01:49

ben c'est serait on met des intervalles disjoint dans notre cas c'est à dire pour (-1)^n , parce qu'on veut qu'il est une seule limite , enfaite dire que c'est intervalle serait joint ça serait qu'il y a deux limite possible or cela faux .  
De plus concernant le même epsilon ce que j'essayais de dire c'est que imaginons que les deux soit ni disjoint ni joint enfin que les epsilones qui sont " bornes intervalles voisinage" soient égaux je sais pas si vous voyez , enfaite sur votre si les deux  epsilon étaient  de 1

Posté par
Florineboss20
re : demonstration pour ds 05-12-21 à 16:41

vous êtes toujours la ??? Désole d'insister mais j' aimerais vraiment comprendre .  

Posté par
Florineboss20
re : demonstration pour ds 05-12-21 à 16:43

si vous voulez on peut essayer de faire un appel discord  pour que vous m'expliquiez



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