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Démonstration somme suite géométrique par récurrence

Posté par
Macreator 03-10-20 à 22:02

Bonjour,

Je voudrais montrer par récurrence que, pour tout entier n,

\sum_{k=0}^{n}{3^k} = \frac{3^n^+^1-1}{2}

Pour l'hérédité j'obtiens :

3(\frac{1-3^n^+^1}{1-3}) d'après la formule de la somme des termes d'une suite géométrique de raison 3 et de premier terme 1

Mais je n'arrive pas à conclure

Merci d'avance

Posté par
Yzzre : Démonstration somme suite géométrique par récurrence 03-10-20 à 22:06

Salut,

Il est clair que 3(\frac{1-3^n^+^1}{1-3}) = 3(\frac{3^n^+^1-1}{2}) Ce qui va poser problème à priori...

Peux-tu mettre le détail de ton hérédité ?

Posté par
Macreatorre : Démonstration somme suite géométrique par récurrence 03-10-20 à 22:31

Donc soit k fixé quelconque, on montre que la relation est vraie au rang k+1

\sum_{k=0}^{n}{3^k^+^1} = 3\sum_{k=0}^{n}{3^k} = ce que j'ai trouvé...

Posté par
Yzzre : Démonstration somme suite géométrique par récurrence 04-10-20 à 06:21

Cette égalité est fausse

Posté par
Yzzre : Démonstration somme suite géométrique par récurrence 04-10-20 à 06:30

Hum...
Répondu trop vite : elle est tout à fait correcte, cette égalité.
Ce qui pose problème (en dehors du fait que vouloir absolument utiliser une récurrence pour ça est franchement pénible), c'est l'emploi de k et n dans la même expression.

La propriété que tu veux prouver porte sur n : c'est P(n) :  \sum_{k=0}^{n}{3^k} = \frac{3^n^+^1-1}{2}.
Pour prouver l'hérédité, tu ne peux pas "supposer que P(k) est vraie pour un entier k", car k apparaît dans la formule.
C'est plutôt :  
Supposons que P(n) est vraie pour un entier n, soit :   \sum_{k=0}^{n}{3^k} = \frac{3^n^+^1-1}{2}  ,  et prouvons que P(n+1) est vraie aussi, soit  : \sum_{k=0}^{n+1}{3^k} = \frac{3^n^+^2-1}{2}.

Posté par
Macreatorre : Démonstration somme suite géométrique par récurrence 04-10-20 à 09:01

Je ne trouve pas..

\sum_{k=0}^{n+1}{3^k} = \sum_{k=0}^{n}{3^k} + 3^n^+^1 = \frac{3^n^+^1-1}{2} + 3^n^+^1 que je ne parviens pas à arranger

Posté par
alma78re : Démonstration somme suite géométrique par récurrence 04-10-20 à 10:29

Bonjour,
Et si tu réduisais au même dénominateur ....

Posté par
Macreatorre : Démonstration somme suite géométrique par récurrence 04-10-20 à 13:42

J'ai trouvé merci à vous deux

Posté par
alma78re : Démonstration somme suite géométrique par récurrence 04-10-20 à 14:27

Je t'en prie.

Posté par
Yzzre : Démonstration somme suite géométrique par récurrence 04-10-20 à 15:37

De rien, et salut à alma78    


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