démonstration (toujours pour les futurs terminales en priorité) - forum mathématiques - 143437

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Posté par re : démonstration (toujours pour les futurs terminales en prior 19-07-07 à 20:53

Vaut mieux deux fois qu'une

Posté par re : démonstration (toujours pour les futurs terminales en prior 19-07-07 à 20:56

si on veut mais je m'étais senti si utile, je tombe de haut tu sais....

Posté par re : démonstration (toujours pour les futurs terminales en prior 20-07-07 à 00:07

C'est exactement ce que j'ai fait sauf que je n'ai pas utilisé le symbole de la somme
Je n'ai pas déroulé toutes les réponses et celles du début et de la fin se ressemblant, j'ai pensé que la méthode n'avait été proposée.
a+

Posté par re : démonstration (toujours pour les futurs terminales en prior 20-07-07 à 10:12

J'ai une approche géométrique:
Le premier dessin est ici pour n=3; le nombre de cubes est bien la somme des carrés. En choisissant que le côté du cube mesure 1 unité, le volume total délimité par les cubes correspond bien à la somme cherchée. Dans ce cas on calcule le volume de la pyramide (en rouge, de volume (n+1)^3/3), et on enlève les prismes (qui est de $2\sum_{i=1}^n i$ dont le volume vaut $\sum_{i=1}^n i$ ) et les petites pyramides (il y en a n+1, de volume (n+1)/3) en trop. La formule pour la somme des entiers peut aussi être trouvée géométriquement, c.f deuxième dessin, en rajoutant les petits triangles en trop.
Ainsi:
$\sum_{i=1}^n i^2=\frac{(n+1)^3}{3}-\sum_{i=1}^n i-\frac{n+1}{3}$
$\sum_{i=1}^n i^2=\frac{(n+1)^3}{3}-\frac{n(n+1)}{2}-\frac{n+1}{3}$

$\red \fbox{\sum_{i=1}^n i^2=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$

Sinon:

$\fbox{\sum_{i=1}^n i=\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}}$

démonstration (toujours pour les futurs terminales en prior