Bonjour,

Merci d'avance.

1) Déterminer si est un anneau unitaire.

2) Répondre par Oui ou Non et justifier votre réponse.

a) Un polynôme de admet une racine.
Est-il réductible ?

b) Tout élément régulier d'un monoïde est-il symétrisable ?

c) Un diviseur de zéro d'un anneau peut-il être inversible ?

d) Un polynôme est premier avec deux polynômes, est-il premier avec leur produit ?

Réponses

1) La multiplication admet un élément neutre que 1 donc l'anneau est unitaire.

2-a) Oui car les polynômes irréductibles de sont :

* les polynômes de degré 1.
* les polynômes de degré 2 dont le discriminant est négatif.

2-b) Oui

2-c) Non car dans un anneau fini, tout les éléments réguliers sont inversibles donc les diviseurs de zéro sont exactement les éléments non nuls et non inversibles.

2-d) Non