Bonjour

"s'il vous plaît je sui une grosse ..... en algèbre" c'est pas grave c'est de la géométrie



Deux idées pour l'exercice:
L'associativité du barycentre (dit aussi théorème du barycentre partiel)

Pour montrer que trois points sont alignés, on montre que l'un est le barycentre des deux autres.



Question a
Comme E est le symétrique de A par rapport à B,
B est le milieu de [AE]
donc  B = bar{ (A,1), (E,1) }

Comme de plus, G = bar{ (A,1), (E,1), (D;2) (C;2) }
d'après le th. d'associativité
G = bar{ (B,2), (D,2), (C,2) }
G est bien l'isobarycentre de BCD.



Question b
Comme I est le milieu de [CD],
I = bar{ (C,1), (D,1) }
mais le barycentre ne change pas lorsque tous les coefficients sont multipliés par un même réel non nul
I = bar{ (C,2), (D,2) }

Comme G = bar{ (B,2), (D,2), (C,2) }
d'après le th. d'associativité
G = bar{ (B,2), (I, 4) }
et donc G, B, I sont alignés.


Bon je vais manger .... et tu dois être capable de faire la suite seul.

bonsoir ,
tout d'abord fais un dessin avec les annotations pour de référer si besoin
ensuite traduis toutes les hypothèses que tu as:

ABCD un parallélogramme:
(*)


I milieu du segment [CD]:
I isobarycentre de C et D, c'est à dire:
(1)

E le symétrique du point A par rapport à B:
d'où B milieu de [AE}
autrement dit, B isobarycentre de A et E
(2)

Les droites (AC) et (IB) se coupent en F .
à mettre de côté

1.
G le barycentre des points pondérés (A;1) (E;1) (D;2) (C;2)
signifie:
(3)

a.
tu veux montrer que G est isobarycentre de B, D et C (ce sont des points et non un triangle ) c'est à dire:


donc tu aimerais remplacer dans (3) par quelque chose comme
or tu sais que (2):


en insérant le point G par Chaslès:



ainsi tu as dans (3):


tu peux factoriser par 2, et tu obtiens le résultat demandé

1.b)
tu veux que B, G et I soit aligniés, donc que l'un des point soit barycentre des 2 autres. vu que nous savons que G est isobarycentre de B, D et C, on peut essayer de chercher à montrer que G est barycentre de B et I avec des coefficients adéquat.

tu sais d'après (1):


donc tu peux arriver à transformer
en insérant le point G dans (1), et revenir sur

pour changer en

ainsi G appartient à (BI).

2.a)
reprennons depuis le début, tu veux que A ou G ou C soit barycentre des 2 autres points affectés de coefficient, pour les même raison qu'avant on peut chercher à montrer que G est barycentre de A et C avec des coefficients.
tu as:
(3)
il faut transformer et pour arriver au résultat demandé.

tu connais des choses sur , mais pas , soit utilises la relation de Chaslès pour introduire le point A:



or d'après (*)
d'où



il te reste à introduire le point C dans (cela te paraît logique?)




ainsi G appartient à (AC)

2.b)
tu as écrit: en déduire que les points G et F sont alignés
je penses que tu voulais dire en déduire que G=F?
(car 2 points sont forcément aligniés, il éxiste une droite passant par ces 2 points )

cette déduction est immédiate, car 2 droites sécantes (non confondues)sont sécantes en un unique point
or G et F appartienent à (AC) et (BI) (ces droites ne sont pas confondue, si ABCD n'est pas aplati)
donc G=F

3.
il te suffit de démontrer que G appartient à (DE)

pour cela tu as (3)


tu veut transformer et

or tu as montrer que:

c'est à dire:


donc (3) devient:


voilà

à toi de jouer maintenant

oups Siok, je n'avais pas vu ton message (cela met du temps à tout écrire )

merci beaucoup pour se précieux coup de main!!!!!!!!