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Niveau Licence Maths 1e ann
Démontrer Card(AUB)=Card(A)+Card(B)
Posté par gerauda
Bonjour,
Je cherche à démontrer que si A et B sont deux ensembles disjoints alors
Card(AUB)=Card(A)+Card(B)
Merci
Je te traduis l'énoncé :
Tu as N pierres et M fleurs.
Combien y a-t-il de pierres et de fleurs?
Si tu sais répondre à cette question, tu as gagné !
Bonjour
Ils sont finis tes ensembles? Si oui, tu peux le faire par récurrence sur le cardinal de B par exemple.
S'ils sont infinis, ça dépend des axiomes choisis... C'est souvent comme ça que l'on définit l'addition des cardinaux!
D'après une propriété, Card ( A U B ) = Card ( A ) + Card ( B ) - Card ( A 
B )
Card( A U B ) est l'ensemble de tous les élements de A et de B
et Card ( A B ) est l'ensemble d'élements que A et B ont en communs.
Si A et B sont disjoints 
Card ( A B )= 0
Il vient alors Card ( A U B ) = Card ( A ) + Card ( B )
cqfd
Drysss: merci pour ta réponse, mais ce n'est pas une démonstration
Mendel: merci pour ta réponse mais la propriété que tu cites je dois aussi la démontrer
Camélia: Je dois démontrer que si E1,E2,...,En est une partition finie de E alors Card(E)=Card(E1)+...+Card(En) (Hn)
Par récurrence sur n:
Si n=1 (H1) est vraie
Supposons pour n>1 (Hn) vraie et montrons (Hn+1)
n n-1
Card(E)= Card( U Ei)=Card[(U Ei)U En]
i=1 i=1
et la je voulais mettre =Card(UEi)+card(En) car ces ensembles sont disjoints mais apparement je dois prouver d'abord que card(AUB)=Card(A)+card(B) quand A et B sont disjoints
Merci pour vos réponses
Ce que je voulais dire, c'est que quand on rentre à ce point dans le détail théorique, on ne peut pas t'aider sans savoir précisément quelles sont les propriétés que tu connais.
Pour mois Card(A union B ) = Card A + Card B - Card A inter B, c'est quasiment du même niveau théorique que 1+1=2.
Si tu n'as pas encore cette propriété, ca veut dire que tu es quasiment au point 0 de la théorie : dis nous de quels axiomes tu pars et on te dira comment en déduire ce résultat.
Je pense Dryss, que Card(A U B ) = Card A + Card B - Card A inter B est d'un niveau théorique inférieur à celui de 1+1=2, dans la mesure où la construction des entiers se fait via des considérations purement ensemblistes reposant souvent cette même propriété.
Bonjour.
On serait bien embêté pour définir le cardinal d'un ensemble fini si on avait pas construit les entiers auparavant ...
Je ne suis pas d'accord.
La notion de cardinal préexiste à celle d'entier naturel.
Ce n'est pas parce qu'il est aussi défini comme une injection sur N, qu'il doit leur être antérieur.
Si on prend la construction présentée dans cet article : 
, alors on a pas besoin de la notion de cardinal pour construire les entiers.
Sinon pour Card(A union B) = Card (A) + Card (B).
Tu peux mettre en bijection A avec [1,n], B en bijection avec [1,m]
A union B en bijection avec A*{0} union B*{1} et finalement ce dernier ensemble en bijection avec [1,n+m] grâce à phi : (xA,0) -> phiA(xA) et qui à (xB,1) -> n+ phiB(xB).
Je ne connaissais que la construction par la méthode de Von Neumann. (je ne savais même pas qu'elle venait de lui ...)
J'essayerai de me renseigne sur celle de Frege, un jour. ^^
bonjour, alors voilà le problème, je dois démontrer que:
card(A
B)=cardA+cardB-card (AB)
je ne veux pas ouvrir un autre topic sur ce sujet même si je sais que la démonstration que je demande sera surement différente 
. J'aimerais bien avoir au moins la méthode pour prouver cette égalité (si il y en a 
) où si vous connaissez un site où je pourrais avoir la démonstration complète, merci d'avance 
Bonjour
Commence par le prouver si (par exemple par récurrence sur le cardinal de B), puis remarque que les parties
,
et
sont disjointes deux à deux et que leur réunion est
Drysss @ 11-04-2010 à 19:46
Ce que je voulais dire, c'est que quand on rentre à ce point dans le détail théorique, on ne peut pas t'aider sans savoir précisément quelles sont les propriétés que tu connais.
Pour mois Card(A union B ) = Card A + Card B - Card A inter B, c'est quasiment du même niveau théorique que 1+1=2.
Si tu n'as pas encore cette propriété, ca veut dire que tu es quasiment au point 0 de la théorie : dis nous de quels axiomes tu pars et on te dira comment en déduire ce résultat.
Ce que je voulais dire, c'est que quand on rentre à ce point dans le détail théorique, on ne peut pas t'aider sans savoir précisément quelles sont les propriétés que tu connais.
Pour mois Card(A union B ) = Card A + Card B - Card A inter B, c'est quasiment du même niveau théorique que 1+1=2.
Si tu n'as pas encore cette propriété, ca veut dire que tu es quasiment au point 0 de la théorie : dis nous de quels axiomes tu pars et on te dira comment en déduire ce résultat.
Si j'étais vous, fasse à la profondeur d'une question que vous ne saisissez pas, je ferais preuve d'humilité. La construction des nombres et la définition de l'addition en partant de ZFC demande la construction des ordinaux de Von Neumann qui permettra de définir ensuite les cardinaux et d'ensuite de définir les propriétés d'addition et de multiplication sur les ordinaux et cardinaux.
Bonjour KhalilPI124
était-ce bien utile de déterrer un vieux sujet de 12 ans d'âge pour ce type de propos... et je ne suis pas sûre que le profil renseigné 'autre licence" te corresponde vraiment ...
Bienvenue
gerauda @ 09-04-2010 à 15:49
Bonjour,
Je cherche à démontrer que si A et B sont deux ensembles disjoints alors
Card(AUB)=Card(A)+Card(B)
Merci
Bonjour,
Je cherche à démontrer que si A et B sont deux ensembles disjoints alors
Card(AUB)=Card(A)+Card(B)
Merci
L'idée ici est de définir justement la propriété de l'addition. Pour simplifier, Card(A)=Card(B) si et seulement si il existe une bijection de A vers B. Maintenant si je prends deux ensembles A et B disjoints et, A' et B' deux ensembles disjoints tel que Card(A)=Card(A') et Card(B)=Card(B') c'est à dire qu'il existe une bijection f de A vers A' et une bijection g de B vers B'. Maintenant qu'en est-il du Card(AUB) ? Si on regarde puisque (A et B) et (A' et B') sont disjoints, on peut définir l'application h suivante de AUB vers A'UB'. Quelque soit x de AUB, si x appartient à A je lui associe l'élément f(x) de A'UB' si x appartient à B je lui associe l'élément g(x) de A'UB'. h est une bijection. Donc Card(AUB)=Card(A'UB').
On remarque alors que le Card de AUB ne dépend pas des éléments des ensembles A et B mais de leur cardinaux. C'est à dire quelque soit l'ensemble Ax et quelque soit l'ensemble Bx (Ax et Bx disjoints) du moments que les Ax ont le même cardinal et les Bx le même cardinal les réunions d'un ensemble Ax avec un ensembles Bx auront toutes le même cardinal. C'est ce que veut décrire la formule Card(A)+Card(B)=Card(AUB) avec A et B disjoints. Le cardinal de AUB dépend seulement du Card(A) et du Card(B).
Citation :
Si j'étais vous, fasse à la profondeur d'une question que vous ne saisissez pas, je ferais preuve d'humilité. La construction des nombres et la définition de l'addition en partant de ZFC demande la construction des ordinaux de Von Neumann qui permettra de définir ensuite les cardinaux et d'ensuite de définir les propriétés d'addition et de multiplication sur les ordinaux et cardinaux.
Si j'étais vous, fasse à la profondeur d'une question que vous ne saisissez pas, je ferais preuve d'humilité. La construction des nombres et la définition de l'addition en partant de ZFC demande la construction des ordinaux de Von Neumann qui permettra de définir ensuite les cardinaux et d'ensuite de définir les propriétés d'addition et de multiplication sur les ordinaux et cardinaux.
Pas besoin de l'axiome du choix. De plus, il s'agit d'une définition constructive de N comme ordinal, mais son existence est par exemple une conséquence de l'axiome de l'infini.
Aussi, j'ai l'impression que tu confonds cardinalité et ordinalité dans ton post suivant, ce qui n'est pas si grave si on reste dans un cadre dénombrable, mais fort maladroit si tu parles d'ordinaux juste avant cela