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démontrer des alignements et des parallèlismes
Bonjour à tous ! J'ai cet exercice à faire, je suis en train de le
faire de mon côté mais j'aimerai beaucoup que d'autres personnes
le fassent également pour que lorsque j'aurais fini je puisse
vérifier et comparer et au cas ou je ne comprendrai pas tout.
Je vous remercie d'avance et voici mon exercice :
DEMONTRER DES ALIGNEMENTS ET DES PARALLELISMES
A)ALIGNEMENT DANS LE PLAN.
ABCD est 1 parallélogramme, I est le milieu de [AB] et E est le point
du plan (ABC) tel que (vecteur IE) = 1/3 de (vecteur ID).
On veut démontrer que les points A,E et C sont alignés en utilisant 3 méthodes.
1) Par le calcul vectoriel
a) Pourquoi veut-on exprimer (vecteur AE) en fonction de (vecteur AC) ???
b) Exprimer (vecteur AE) en fonction de (vecteur AI) et (vecteur AD).
c) Obtenir (vecteur AE) et (vecteur AC) en fonction de (vecteur AB) et
(vecteur AD), puis conclure.
2) Par des configurations usuelles
a) Dans le triangle ABD, que peut-on dire de la droite (DI) ?
b) Dans le triangle ABD, que peut-on dire du point E ?
c) Conclure.
3) Par des calculs de coordonnées
a) Choisir un repère du plan.
b) Déterminer les coordonnées des points A, E et C.
c) Conclure.
B)DROITES PARALLELES DANS LE PLAN.
ABCD est un carré. On place les points E et F tels que
(vecteur DE) = 1/3 de (vecteur DA) et (vecteur DF) = 1/3 de (vecteur DC).
Le point M est tel que (vecteur BM) = x de (vecteur BC) avec x appartenant à [0;1]
On veut déterminer pour quelle(s) valeur(s) de x les droites (AM) et (EF) sont
paralléles.
1) Traduire par une relation vectorielle la conclusion attendue.
2) Exprimer (vecteur AM) et (vecteur EF) en combinaisons linéaires des deux
mêmes vecteurs.
3) Quelle relation contenant x peut-on écrire? Terminer la démonstration.
C)DROITE ET PLAN PARALLELES.
ABCDEFGH est un cube. I, J et K sont les milieux respectifs de [AD], [BC] et [FG].
On veut prouver que la droite (AK) est paralléle au plan (IJH).
1) Traduire par des relations vectorielles : "la droite (AK) est paralléle au plan
(IJH) "
2) Repérer les vecteurs égaux de la figure.
3) Exprimer (vecteur AK) à l'aide de 2 vecteurs. Conclure.
Voilà, cet exercice est assez long mais j'aimerai vraiment beaucoup avoir votre
aide. Merci encore pour les éventuelles réponses.
A)
1)
Ce qui suit est en vecteurs (je ne mets pas les flèches).
AE = AI + IE
AE = (1/2)AB + (1/3)ID
ID = IA + AD ->
AE = (1/2)AB + (1/3)(IA+AD)
AE = (1/2)AB + (1/3)((1/2)BA +AD)
AE = (1/2)AB - (1/6)AB + (1/3)AD
AE = (1/3).AB + (1/3)AD
Mais AD = BC (car ABCD est un parallélogramme) ->
AE = (1/3).AB + (1/3)BC
AE = (1/3).(AB + BC)
AE = (1/3).AC
Les vecteurs AE et AC sont colinéaires.
Les droites (AE) et (AC) sont donc // et comme elles ont un points commun, elles sont confondues.
-> Les points A, E et C sont alignés.
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2)
DI est la médiane issue de D du triangle ABD
E est situé au 2/3 à partir du sommet de la médiane DI -> E est le centre de gravité du triangle ABD.
La droite(AE) est aussi médiane du triangle ADB (puisque le centre de gravité d'un triangle se trouve à l'intersection de ses médianes).
-> La droite AE passe par le milieu de [DB]
Comme les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, la droite(AE) est diagonale du parallélogramme ABCD, elle passe donc par le point C.
-> Les points A, E et C sont alignés.
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3)
Choix du repère: (A ; AB; AD)
On a alors:
A(0;0)
B(1;0)
I(1/2;0)
D(0;1)
C(1;1)
E(1/2 - (1/6); 1/3)
E(1/3 ; 1/3)
équation de la droite AC: y = x
On vérifie que E est sur cette droite (ses coordonnées vérifient l'équation de la droite).
-> Les points A, E et C sont alignés.
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Sauf distraction 
B)
Ce qui suit est en vecteurs (je ne mets pas les flèches).
EF = ED + DF
EF = (1/3)AD + (1/3)DC
EF = (1/3)(AD + DC)
EF = (1/3) AC
EF = (1/3) (AB + BC)
AM = AB+BM
AM = AB + x.BC
EF et AM sont colinéaires si on a : AM = k.EF (k étant un réel).
AB + x.BC = (k/3) (AB + BC)
C'est OK pour x = 1 seulement.
-> on aura alors AM = AB + 1.BC
AM = AC
Les points A et M sont alors confondus.
EF est // à AM lorsque le point M est en C.
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Sauf distraction.
Je vous remercie infiniment, je ne vais pas regarder tout de suite si je suis d'accord avec les résultats, je vais finir de le faire de mon côté et je regarderai plus tard en tout cas ça me fait plaisir.
Au revoir !!!
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