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Démontrer la concourante de trois droite

Posté par
Travianmoh
08-12-12 à 12:43

Salut tout le monde donc voilà je bloque dans un exercice de DM :

ABC est un triangle quelconque , on a :

I barycentre de (b,3) (a,-1)

J barycentre de (a,2) (c,-3)

K barycentre de (b,2) (c,1)

Prouve que les trois droites (cI) , (b,J) et (aK) sont concourante .

Je sais qu'il faut poser G comme barycentre de 3 point mais je ne sais pas comment faire après

Merci d'avance

Posté par
Glapion Moderateur
re : Démontrer la concourante de trois droite 08-12-12 à 13:34

Bonjour, Souviens-toi que si un point est barycentre de deux autres Par exemple G barycentre de A(a) B(b) alors OG=(aOA+bOB)/(a+b) (vectoriellement)

Donc ici par exemple OI=(3OB-OA)/2 ; OJ=(2OA-3OC)/(-1) ; OK=(2OB+OC)/3
on peut choisir O où on veut donc ici on va prendre l'origine en A et se mettre dans le repère (A;AB;AC)
ça donne AI=3OB/2 ; AJ=3AC ; AK=(2/3)AB+AC/3 donc dans ce repère I(3/2;0) J(0;3) K(2/3;1/3) C(0;1) B(1;0) A(0;0)

On trouve facilement les équations des droites CI BJ et AK
(on pose y=ax+b et on dit que les points sont sur la droite en remplaçant leur coordonnées et ça donne a et b), on fait ça pour les 3 droites.
Tu dois trouver AK y=x/2 ; JB y=-3x+3 et IC y=-2x/3+1
et tu n'as plus qu'à résoudre ce système et à vérifier que les 3 droites sont concourantes en un seul point.
C'est bien le cas elles sont concourantes au point x=-/7 ; y=3/7
Démontrer la concourante de trois droite

Posté par
Travianmoh
re : Démontrer la concourante de trois droite 08-12-12 à 13:41

Merci de ta réponse mais je pense avoir fait grosse erreur de frape  qui a changer la donné ; voilà la rectification :

ABC est un triangle quelconque , on a :

I barycentre de (B,3);(A,-1)

J barycentre de (A,2);(C,-3)

K barycentre de (B,2);(C,1)

Prouve que les trois droites (CI) , (BJ) et (AK) sont concourante .


Désolé du dérangement .

Posté par
Glapion Moderateur
re : Démontrer la concourante de trois droite 08-12-12 à 14:13

Je n'ai pas vu de changement

Posté par
Travianmoh
re : Démontrer la concourante de trois droite 08-12-12 à 14:43

Le truc c'est qu'on est pas encore arrivé à la leçon ; des coordonnée d'un barycentre mais l'exo est dans le cadre du barycentre de 3 point pondéré c'est pour ça que j'ai pas trop compris t'as réponse.

Je pense que la solution doit étre à peut prés comme la réponse donné sur ce poste : https://www.ilemaths.net/sujet-demontrer-que-3-droites-sont-concourantes-176670.html

Mais le truc c'est que je n'arrive pas à trouver la relation entre les points

Merci encore .

Posté par
Glapion Moderateur
re : Démontrer la concourante de trois droite 08-12-12 à 15:11

ha oui les règles d'associativité du barycentre. Oui on doit pouvoir faire l'exercice avec ça aussi.


I barycentre de (B,3);(A,-1)
J barycentre de (A,2);(C,-3) J barycentre de (A,-1);(C,3/2)
K barycentre de (B,2);(C,1)

Si G est le barycentre de (A,-1) (B,3) ; (C,3/2) G est aussi barycentre de (I;2) et C(3/2) donc G est sur CI
Si G est le barycentre de (A,-1) (B,3) ; (C,3/2) il l'est aussi de (A,2) (B,-6) ; (C,-3) et donc de (J,-1) et (B,-6) et donc G est aussi sur la droite BJ
Si G est le barycentre de (A,-1) (B,3) ; (C,3/2) il l'est aussi de (A,-2/3) (B,2) ; (C,1) et donc de (A,-2/3) et (K,3) et donc G est aussi sur la droite AK

G est donc bien sur les 3 droites à la fois.



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