Bonjour,
Et si tu essayais de montrer que le reste de la division par 3 est toujours 2?

Bonjour charmuzelle.

Je te propose une solution alternative : dire qu'un nombre N est non divisible par 3, c'est dire que le reste de sa division par 3 a un reste non nul et qu'il s'écrit donc N = 3p + r avec r = 1 ou 2.

Donc dans la récurrence, on écrit que et on regarde le reste de la division par 3 de

Bonjour sanantonio312 et jsvdb

Mea culpa ! J'ai oublié de vous dire que, dans le même exercice, précédemment, on a montré que pour tout entier naturel n, est divisible par 3 (proposition nommée ).

Ensuite, il nous est demandé de montrer par l'absurde que est fausse pour tout n. Donc je ne peux pas choisir votre solution, qui aurait été bonne si la consigne n'avait pas précisé "par l'absurde".

En fait, j'ai regardé dans le livre le corrigé de l'exercice suivant qui lui ressemble : il fallait utiliser le résultat démontré pour :

On suppose qu'il existe un certain rang non nul pour lequel est multiple de 3 ().
On sait d'autre part que est multiple de 3 pour tout n (), donc pour ce particulier-là ().

J'ai donc qui devrait être multiple de 3 d'après 3)
Or c'est égal à 2. Notre hypothèse de départ "On suppose qu'il existe un certain rang non nul pour lequel est multiple de 3" était donc fausse.
Ainsi, pour tout entier naturel n, n'est pas multiple de 3.

Merci à vous deux et pardon pour le dérangement !

Bonjour,
Pourquoi cherches-tu à imiter une récurrence ?
Contente toi de supposer 4ⁿ+1 divisible par 3 avec n .
Tu aboutis à la contradiction 2 est divisible par 3 .

Mais je ne trouve pas intéressant d'utiliser un raisonnement par l'absurde pour ça.
D'après le début de l'exercice 4ⁿ-1 divisible par 3 pour tout n de .
D'où 4ⁿ-1 = 3k avec k entier.
Ce qui donne 4ⁿ+1 = 3k+2 .
Le reste non nul permet de conclure.

Bonjour Sylvieg.

Il n'y a pas de récurrence dans ma réponse à la dernière question de l'exercice.
Et c'est l'énoncé qui impose un raisonnement par l'absurde.

Il s'agit de l'exercice 27 page 31 du manuel TermS maths repères de chez Hachette Éducation édition 2012.

Le n°32 est intitulé "le même" et est corrigé à la fin du manuel.
Je me suis donc inspirée du corrigé du n°32 (qui impose aussi un raisonnement par l'absurde) pour faire celui du 31.

Mais bien sûr, si l'énoncé n'imposait pas de raisonnement par l'absurde, et s'il n'avait pas demandé de prouver précédemment que la différence entre 2 multiples de 3 était nécessairement un multiple de 3, il aurait bien été plus clair et plus rapide de raisonner comme tu le fais ! Sachant qu'il faut admettre qu'un entier qui s'écrit sous la forme 3k+2 n'est pas multiple de 3, mais ça semble tomber sous le sens...

Par contre, autant je te suis dans ta deuxième rédaction, autant je ne comprends pas la première, à moins que ce ne soit un raccourci de la mienne : comment passes-tu de "Il existe un entier n tel que " est divisible par 3" à "2 est divisible par 3", sinon par ce que j'ai marqué ? J'ai juste appelé l'entier plutôt que afin que les élèves ne confondent pas qui est vraie pour tout avec qu'on suppose vraie pour un particulier.

Bonne après-midi à tous et merci pour les réponses et les idées

salut

ha si on avait eu énoncé complet dès le début ...

le raisonnement par l'absurde peut se faire mais est superfétatoire !!

on a démontré que est multiple de 3
on suppose que est multiple de 3
on utilise alors la question 3/ pour conclure que 2 est multiple de 3

et on obtient une absurdité

mais bon il est plus constructif de proposer :

1/ on démontre que P(n) et Q(n) sont héréditaires (exercice mathématiquement riche puisque c'est le cœur du raisonnement par récurrence)
2/ on initiale P : P(0) est vrai et on conclut que P(n) est vraie pour tout n
3/ tout le pb est là : peut-on initialiser Q : peut-être est-ce vrai à partir du 10827-ième terme ... mais bon on ne va pas s'amuser à essayer jusqu'à ... plus soif !!!
4/ donc on montre/remarque et on conclut immédiatement que Q(n) est fausse pour tout n