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Démontrer par les aires!
Bonjour alors voilà, je n'ai pas réussi à faire mon DM je bloque dès la première question!
Nous devons le rendre Vendredi mais je préfère le commencer aujourd'hui!
Mercii de votre aide!
Dans le livre VI des Eléments d'Euclide se trouve la proposition II :
Si l'on mène une droite parallèle à l'un des côtés du triangle, cette droite coupera proportionnellement lescôtés.
Comment énonce-t-on aujourd'hui cette propriété et sous quel nom est-elle connue ?
Voici la démonstration d'Euclide :
Première étape
a) S est un point quelconque de [QR]. En exprimant
judicieusement l'aire des deux triangles, démontrer que
aire PQS = SQ
_________ ___
aire PSR SR
b) En déduire :
aire EBD = ?
_________
aire EDA
aire DEG = ?
________
aire DEA
Deuxième étape
On suppose maintenant que (DE) est parallèle à (GB).
a) En exprimant astucieusement les aires des deux
triangles EBD et DEG,montrer que aire BED = aire DEG.
( aide : qu'ont-ils en commun ?)
b) Quelle égalité peut-on en déduire des questions b)
(partie 1) et a) (partie 2) ?
c) En utilisant les égalités DB = AB - AD et EG = AG - AE
déduire de la question précédente que AB = AG
___ ___
AD AE
Bonsoir Miss. Tu pourrais nous renseigner sur les figures en présence ?...
Cela me fait penser à Thalès... pas toi ?...
OUi j'ai les figures!
je vous les envoies si vous voulez!
Moi aussi cela me fait penser à Thalès mais je ne sais pas comment formuler la propriété pour répondre à la question!
Quand tu regardes en face le triangle PQR, tu vois que les 2 triangles (qui en font partie) PSQ et PSR ont la même hauteur (elle n'est pas dessinée, mais on sait que c'est la même hauteur).
Donc ces triangles ont pour aire:
Aire (PSQ) = base * hauteur = SQ * hauteur
Aire (PSR) = base * hauteur = SR * hauteur
Donc : Aire(PSQ) SQ
----------- = -------
Aire(PSR) SR
Tu vas faire les mêmes calculs pour les triangles suivants, en les regardant comme suit :
* le jaune et vert, place le point E en haut, base BA
* le jaune et bleu, place le point B en haut, base GA
(je te retrouve dans 30mn)
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