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Demontrer qu'une application est quadratique
Soit q l'application de M2(R) dans R définie par q(A)=det(A)
1) Montrer que q est une forme quadratique
Alors ici, j'essaie de démontrer qu'il existe une forme bilinéaire symétrique associé à q, je l'appelle Q et je pose Q(A,B) = 1/2 ( Q(A+B) - Q(A) - Q(B) )
Il est évident que Q est symétrique, il reste à montrer que Q est une forme bilinéaire. Je calcule Q(A,KB) et je montre que c'est égale à K. Q(A,B) et par symétrie je démontre la linéarité de l'autre coté (coté droit je crois).
J'ai plusieurs questions,
1) Est ce que cette réponse convient ? Peut on faire plus simplement ?
2) det(A+KB) peut se simplifier à cause de la multilinearité du déterminant si je ne me trompe.
3) De manière générale comment fait on pour démontrer qu'une forme est quadratique ?
Bonjour.
Ta méthode est correcte. Simplement, ici, tu devras faire intervenir les colonnes de A et B pour utiliser les propriétés du déterminant.
Personnellement, j'assimilerais A à un vecteur de IR4 : A(a,b,c,d)
Alors, on est ramené à étudier q(a,b,c,d) = ad - bc
J'ai reussi la première question avec votre methode, effectivement, les calcules sont plus rapides et facile à effectuer.
La question 2) est la suivante, on me demande de donner la forme polaire de q appelé phi, or il me semble que j'ai utilisé celle ci pour demontrer que q est quadratique , je pense qu'il y a un petit soucis à ce niveau .
Et ensuite il me demande de trouver la matrice de phi :
e1 e2 e3 e4
J'ai pris la base canonique de M2(R) = { (1,0,0,0) , (0,1,0,0) , (0,0,1,0) , (0,0,0,1) }
Et j'ai dit que la matrice de phi (M)ij = phi(ei,ej)
Je trouve une matrice 4*4 , ca me parait bizarre d'ailleurs ^^' M= 1/2 * une matrice 4*4 avec des 1 sur la deuxième diagonale.
Pouvez vous m'aider s'il vous plait ?
1°) Il te suffit de dire que q(a,b,c,d) = ad - bc se présente sous forme d'un polynôme homogène de degré 2 des variables a, b, c, d.
2°) Par la règle du dédoublement :
Cette forme te donne la matrice :
Je trouve la même chose mais je crois que c'est 1/2 et non un quart, je ne vois pas d'ou peux venir un quart de toute facon ...
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