bonjour

en exprimant, pour tout x, la différence entre T(x), la tangente, et (C), la courbe; puis en analysant le signe de cette différence d(x)

Philoux

Je ne comprends pas.

Prends un point A d'abscisse a

exprimes la tgte en A

Philoux

une courbe est au dessus d'une autre signifie que pour un meme x l'image par la fct du dessus est plus grande que l'image pas la fonction du dessous
ainsi il te faut demontrer que la fonction f(x)=e^x>=T(x)=x+1, donc que la difference f(x)-T(x) est positive au voisinage de 0

Attention Nicole

Ici il est demandé de le vérifié pour tout x, pas seulement en O...

Philoux

  C'est facile. Tu prends la fonction h(x)=e^x-(x+1)

  Si h est positive pour tout x dans R, alors ca veut dire que e^x est supérieur ou égal a x+1, et donc que la courbe de l'exponentielle est au dessus de celle de sa tagente en x=0

Oki, thx!

vérifier, pas vérifié

même remarque pour forêt_noire

Philoux

la fonction exp(x) admet comme tangent en 0 la droite d'equation y=x+1
soit une fonction g(x)=exp(x)-(x+1)(la fonction "moins" sa tangente)
et etudier le signe de g.
Si g>0 alors exp(x)>x+1 donx au dessus de sa tagente

  Rien compris Philoux lol

slut
etudions le signe alors
quant a ta remarque Philooux oui tu as raison, merci

Au vue du titre du post :

" Démontrer qu une courbe exp est situé au-dessus de sa tangente "

J'en déduis, peut-être à tort, qu'il est demandé que montrer que l'expo est convexe, c'est-à-dire que la courbe est tjs au-dessus de ses tangentes...

Philoux

c'est ca c'est la concavite qu'il faut etudier
car j'ai essaye de travailler le signe de f(x)-T(x) je ne suis arrivee a rien, c'est considere comme deduction et non pas hypothese
je regarde dans un livre il s'agit plutot de la concavite

comment faire alors?

  non mais l'énoncé, c'est montrer que la fonction exponentielle est au dessus de sa tangente en 0

  Donc en gros, c'est montrer que la courbe de l'exponentielle est au dessus de la tangente a sa courbe au point d'abscisce 0

  Sinon, pour montrer que c'st vrai pour toutes ses tangente :

   L'équation de la tangente au point d'abscisse x0 est : y=(x-x0)e^x0+e^x0
  Soit y=e^x0x+e^x0(1-x0)

  donc tu prends h(x)=e^x-e^x0x+e^x0(1-x0)

   h'(x)=e^x-e^x0

   De là la fonction h atteint son minimum en x0, et h(x0)=e^x00

   donc h(x)0 pour tout x dans R

  Désolé, première fois que je viens ici, on ne peut pas éditer, petite éreur de calcul, h(x0)=0, mais ca ne change rien au résultat

salut dark_forest

j'avais d(x) = e^x-x.e^x0+(x0-1)e^x0

cette erreur de signe ne change cependant rien à la dérivée...

Philoux

Moi j'ai fait:

On pose h(x)=exp(x)-(x+1)
h'(x)=exp(x)-1
h(0)=0

h'(x)<0 sur]-00;0[ et h'(x)>0 sur ]0;+00[
Donc h(x) décroissante sur ]-00:0] et croissante sur [0;+00[
Elle admet un minimum en 0

On en déduit donc que h(x)>=0

Donc la courbe de exp(x) ets au dessus de la tangente y=x+1