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Démontrer que 2 droites sont coplanaires ?

Posté par
MaxMaths44000
10-11-20 à 23:25

Bonsoir à tous,

C'est la première fois que j'écris sur un forum de maths ! Je ne comprends vraiment pas comment démontrer que deux droites sont coplanaires, ou sécantes. Je précise que les représentations paramétriques et équations cartésiennes dans l'espace n'ont pas été vues.

Voici deux exercices sur lesquels je bloque.

Ex 45 : pour la question 2, j'arrive facilement au résultat suivant (ce sont des vecteurs) :
IJ = 1/2 AB + 1/6 AD +1/4 AE.
AG = AB + AD + AE.
Question 3 :
- Les droites (IJ) et (AG)  ne sont pas parallèles car les vecteurs  ne sont pas colinéaires (car pas de proportionnalité des coefficients dans la base (AB;AD;AE)).
- Les droites (IJ) et (AG) sont-elles coplanaires ? Là je sèche complètement.

Ex 46 : ***un seul exercice par message***
Un grand merci d'avance pour votre aide.

Maxime

Démontrer que 2 droites sont coplanaires ?

* Modération > Image recadrée, sur la figure uniquement ! Si tu veux de l'aide, merci de faire l'effort de recopier ton énoncé en répondant dans le même sujet *

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démontrer que 2 droites sont coplanaires ? 11-11-20 à 06:59

Bonjour,
Je vois que tu es nouveau, bienvenue sur l'
Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci (Clique sur ce lien). Prends le temps de lire ce sujet et complète ta demande en répondant à ce message et en respectant désormais les règles du site. Quelqu'un va te venir en aide.

Tu postes en terminale alors que ton profil indique Master

Posté par
MaxMaths44000
re : Démontrer que 2 droites sont coplanaires ? 11-11-20 à 20:21

Bonsoir Sylvieg,

C'est bien noté, mes excuses pour le non-respect de la consigne, j'avais lu les règles, mais en diagonale... contrairement à mon énoncé !

Enoncé :
ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. Les points I et J sont définis par les égalités vectorielles suivantes : AI = 1/2 AB + 1/3 AD et BJ = 1/2 BC + 1/4 BF.
Question 1 : décomposer chacun des vecteurs IJ et AG comme combinaison linéaire des vecteurs AB, AD et AE.
Question 2 : les droites (IJ) et (AG) sont-elles
* parallèles ?
* coplanaires ?

Pour la question 1, j'arrive facilement au résultat suivant (ce sont des vecteurs) :
IJ = 1/2 AB + 1/6 AD +1/4 AE.
AG = AB + AD + AE.

Pour la question 2:
- Les droites (IJ) et (AG)  ne sont pas parallèles car les vecteurs  ne sont pas colinéaires (car pas de proportionnalité des coefficients dans la base (AB;AD;AE)).

Cependant, je n'arrive pas à répondre à la question de si elles sont coplanaires ou non...


P.S : Pour ta question Sylvieg, j'ai un diplôme d'ingenieur, mais je donne des cours de maths à un élève de terminale. Je souhaitais lui donner cet exercice que je trouve intéressant, mais je ne vois pas comment le résoudre simplement. L'élève n'a pas vu les équations de droite pour l'instant.

J'ai trouvé une solution pour résoudre et prouver qu'elles ne sont pas coplanaires, mais je trouve la solution compliquée, en utilisant un système d'équation. Je préférais solliciter votre aide pour voir s'il n'y avait pas une solution plus simple...

Merci d'avance

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démontrer que 2 droites sont coplanaires ? 12-11-20 à 14:12

Bonjour,
Des droites non parallèles sont coplanaires si et seulement si elles ne sont pas sécantes.
Je ne vois pas de manière simple de démontrer que les deux droites n'ont pas de point commun :
Si un point M est sur la droite (IM), on a \vec{IM} = a.\vec{IJ} avec a réel.
S'il est aussi sur la droite (AG), on a \vec{AM} = b.\vec{AG}
\vec{AI} + a.\vec{IJ} = b.\vec{AG}
On en déduit un système d'inconnues a et b qui n'a pas de solution.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démontrer que 2 droites sont coplanaires ? 12-11-20 à 14:13

Oups : Des droites non parallèles sont coplanaires si et seulement si elles ne sont pas sécantes.

Posté par
MaxMaths44000
re : Démontrer que 2 droites sont coplanaires ? 12-11-20 à 19:45

Bonsoir !

Oui, c'est également ce que j'ai fait finalement. Je me demandais s'il y avait une solution plus simple, mais apparemment pas !

Merci beaucoup et à bientôt,

Maxime



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