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Démontrer que 4 points sont coplainaires
Bonjour,
il s'agit de savoir si 4 points sont coplanaires ; notre professeur nous avait montré une méthode pour résoudre ce genre de problème en utilisant une propriété de vecteur (u=xv+yw). Toutefois, je n'aime pas bien cette méthode (car je ne l'enregistre pas bien) et en ai fait une autre lors d'une question dans un exercice type bac. Est-ce que ça marche ? Ou est ce faux/incomplet ?
On considère les points A(1;1;2) B(2;1;1) C(-1;1;4) et D(3;0;-2) dans un repère orthonormé.
Les points A,B,C et D sont ils coplanaires ?
→vecteur BC(-3 0 3) vecteur BD(1 -1 -3); ils ne sont pas colinéaires donc les points B,C,D forment un plan.
n(a b c) est un vecteur normal au plan soit :
BC.n=0 et BD.n=0
BC.n=-3*a+0*b+3*c=0 et BD.n=1*a-1*b-3*c=0
n(1 -2 1) est un vecteur normal au plan (BCD)
Une équation cartésienne de ce plan :
x-2y+z+d=0 | B€(BCD)<=> 2-2*1+1+d=0 <=>d=-1
x-2y+z-1=0 est une équation cartésienne de (BCD)
A€(BCD) <=> 1-2*1+2-1=0
Le point A appartient au plan (BCD), les 4 points sont donc coplanaires.
c'est assez mal rédigé mais je voudrais juste savoir si la méthode est bonne
Merci beaucoup !
Bonjour
Tu as déterminé une équation du plan, et tu as montré que A vérifie l'équation : donc c'est bon
la méthode suggérée par ton professeur est la suivante :
une fois que tu sais que les points B C et D forment bien un plan, tu vas voir si le vecteur BA est dans ce plan.
Comme ce plan a pour base , alors il suffit de voir si
peut s'écrire comme une somme de
et
, c'est-à-dire de la forme
, et tu as un système de trois équations à deux inconnues (donc n'admet pas toujours une solution, ce qui se traduit par le fait que le point A n'appartient pas toujours au plan (BCD))
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