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démontrer que des vecteurs sont coplanaires
ABCDEFGH est le cube de l'image jointe.
I est le milieu de AC
et J celui de BF
démontrer que les vecteurs DE, DC et IJ sont coplanaires
On sait que des vecteurs sont coplanaires si leurs extrémités et origines appartiennent à un même plan
de plus des vecteurs U, V et W sont coplanaires si et seulement si il existe des réels a et b tels que W=aU+bV
ici DE, DC et IJ sont coplanaires si et seulement si
DE=aDC+bIJ
c'est bien ça ?
je cherche comment faire
Un moyen consisterait à montrer que les vecteurs IJ et DF ont même direction et que les vecteurs DE, DC et DF sont coplanaires.
merci ! Tu pourrais aussi poursuivre dans ton idée première (W = aU + bV), qui conduit à une solution simple.
Il suffit pour cela d'exprimer chacun de trois vecteurs DE, DC et IJ en fonction des vecteurs DA, DC et DH. Le résultat te permettra d'écrire la relation linéaire.
Pour la première méthode je ne suis pas au point sur le théorème des milieux donc j'ai un peu de mal
Pour la deuxième méthode :
DE= DA+AH
DC= ?
IJ= DA+DC+AH
Je reviens dessus ce soir après les cours
DF=DA+DH+DC oui
mais on se sert de DF aussi dans la deuxième méthode ?
( je vous assure que je n'attend pas que ça me tombe dans les mains je cherche, je fais des essaies )
DF = DA+DH+DC
DF= DE+DC
nous on veut IJ en fonction de a*DE et et b*DC c'est bien ça ?
donc on veut IJ = x*DF
sachant que on cherche à trouver x=1/2 ce qui voudrais dire que IJ est le milieu de DF
Il faudrait donc que le vecteur IJ soit égal à la moitié du vecteur DF (plutôt que "IJ est le milieu de DF" !).
Cela peut se démontrer en raisonnant dans le triangle BDF sur les segments [IJ] et [DF].
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