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Niveau Maths sup
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Démontrer que Sup(A+B) = Sup(A)+Sup(B)

Posté par
infophile
18-11-07 à 21:41

Bonsoir

J'aimerais bien que quelqu'un vérifie et critique ce que j'ai fait pour cet exo :

Citation :
Soient 3$ \rm A et 3$ \rm B deux parties non vides majorées de 3$ \rm \mathbb{R}. Montrer que 3$ \rm A,B et 3$ \rm A+B admettent des bornes supérieures dans 3$ \rm \mathbb{R} et que 3$ \rm Sup(A+B)=Sup(A)+Sup(B)


3$ \rm \red \clubsuit D'après l'axiome de la borne supérieure 3$ \rm Sup(A) et 3$ \rm Sup(B) existent.

On définit 3$ \rm A+B=\{a+b/a\in A,b\in B\} et 3$ \rm \forall a\in A, a\le Sup(A) ; 3$ \rm \forall b\in B, b\le Sup(B)

Par compatibilité avec l'addition il vient 3$ \rm \forall (a,b)\in A\times B, a+b\le Sup(A)+Sup(B)

Le réel 3$ \rm Sup(A)+Sup(B) est donc un majorant de 3$ \rm A+B et admet donc une borne supérieure.

3$ \rm \red \clubsuit Montrons alors que 3$ \rm Sup(A)+Sup(B) est le plus petit des majorants de 3$ \rm A+B.

Considérons un majorant quelconque 3$ \rm M de cet ensemble, ainsi 3$ \rm a+b\le M\Longleftright a\le M-b donc 3$ \rm M-b est un majorant de 3$ \rm A

Donc 3$ \rm Sup(A)\le M-b\Longleftright b\le M-Sup(A) qui est un majorant de 3$ \rm B soit :

3$ \rm Sup(B)\le M-Sup(A)\Longleftright \fbox{Sup(A)+Sup(B)\le M}

On en conclut que 3$ \rm \blue \fbox{Sup(A+B)=Sup(A)+Sup(B)}

Merci

Posté par
romu
re : Démontrer que Sup(A+B) = Sup(A)+Sup(B) 18-11-07 à 21:55

Salut InfoPhile,

pour ma part je pense que c'est bon.

Posté par
infophile
re : Démontrer que Sup(A+B) = Sup(A)+Sup(B) 18-11-07 à 21:56

Bonsoir romu

Merci beaucoup !

Posté par
jeanseb
re : Démontrer que Sup(A+B) = Sup(A)+Sup(B) 19-11-07 à 11:02

Bien vu!

Moi, j'aurais démontré par l'absurde. Ta démo est plus "naturelle"*
A plus.

A.

*...donc en accord avec le Grenelle de l'environnement.

Posté par
hiz
re : Démontrer que Sup(A+B) = Sup(A)+Sup(B) 15-10-11 à 22:55

salut
j'ai une proposition mais je ne sais pas si elle est suffisante
supposant que A et B soient non vides et bornées
soit M1=sup(A) et M2=sup(B)
a A aM1 et
b B bM2
a+b<=M1+M2
donc  sup(A+b)=sup(A)+sup(B).

quelques remarques vont etre trés appréciés et merci d'avance.

Posté par
dimitrov23
re : Démontrer que Sup(A+B) = Sup(A)+Sup(B) 05-04-18 à 01:46

bonne réponse je la trouve logique

Posté par
jsvdb
re : Démontrer que Sup(A+B) = Sup(A)+Sup(B) 05-04-18 à 09:34

Bonjour,
Attention, ce qu'a démontré hiz, c'est seulement que \sup(A+B) \leq \sup(A) + \sup(B).
Mais il y a une démonstration très simple (et très conforme au Grenelle) qui utilise la caractérisation du \sup dans \R

a = \sup(A),~b= \sup(B),~\varepsilon > 0.

\texttt{Caractérisation de sup(A) : }\exists \tilde a \in A,~a-\varepsilon < \tilde a \leq a

\texttt{Caractérisation de sup(B) : }\exists \tilde b \in B,~b-\varepsilon < \tilde b \leq b donc

a+b-2\varepsilon < \tilde a + \tilde b \leq a +b\texttt{ : caractérisation de sup(A+B)}

\texttt{D'où le résultat.}

Mais je ne sais pas pourquoi, quand il s'agit de sup, on va toujours chercher midi à quatorze heures.

Posté par
matheuxmatou
re : Démontrer que Sup(A+B) = Sup(A)+Sup(B) 05-04-18 à 10:25

jsvdb

déjà il faudrait mettre quelque chose en entrée au sujet du epsilon...

d'autre part, dans ton raisonnement, tu ne fais que montrer qu'il existe des éléments de A+B qui peuvent s'approcher aussi près qu'on veut de a+b ... mais cela ne montre  que a+b est le sup de A+B que si on a déjà prouvé avant que sup(A+B)a+b (ce qui d'ailleurs est à peu près évident mais qui nécessite un "quels que soient un élément de A et un élément de B")

mm

Posté par
matheuxmatou
re : Démontrer que Sup(A+B) = Sup(A)+Sup(B) 05-04-18 à 10:45

cela dit, une fois établit que sup(A+B)sup(A)+sup(B), on peut aussi utiliser la caractérisation avec des suites..

une certaine suite (an) de A (resp (bn) de B)  tend vers a=sup(A) (resp b=sup(B))

donc la suite (an+bn) de A+B tends vers a+b ... et le tour est joué

mm

Posté par
carpediem
re : Démontrer que Sup(A+B) = Sup(A)+Sup(B) 05-04-18 à 10:53

salut

oui il manque des quantificateurs ...

c'est très rapide avec les suites (mais moins ""universel"")

ce qui est vrai pour tout e > 0 est vrai pour e_n = 1/n et alors le a~ de jsvdb est le a_n de MM

Posté par
jsvdb
re : Démontrer que Sup(A+B) = Sup(A)+Sup(B) 05-04-18 à 12:32

matheuxmatou @ 05-04-2018 à 10:25

il faudrait mettre quelque chose en entrée au sujet du epsilon...

Cela a été fait

Citation :
d'autre part, dans ton raisonnement, tu ne fais que montrer qu'il existe des éléments de A+B qui peuvent s'approcher aussi près qu'on veut de a+b que si on a déjà prouvé avant que sup(A+B) a+b

Ou simultanément ... c'est terrible ! Mon clavier n'as pas suivi ma pensée. Donc je refais ce à quoi je pensais (en mettant plus de quantificateurs)

Caractérisation, sous réserve d'existence,  de S= \sup(X) :~\blue((\forall x \in X)(x\leq S)) \text{ et } ((\forall \varepsilon > 0)(\exists \tilde x \in X)~M-\varepsilon < \tilde x \leq M)

Soit \varepsilon >0 quelconque.

\texttt{Caractérisation de a = sup(A) : } \blue (\forall x \in A, x \leq a) \text{ et } (\exists \tilde a \in A,~a-\varepsilon < \tilde a \leq a)

\texttt{Caractérisation de b = sup(B) : }\blue (\forall y \in B, y \leq b) \text{ et } (\exists \tilde b \in B,~b-\varepsilon < \tilde b \leq b) donc

{\blue (\forall z \in A + B, z \leq a+b) \text{ et } (\exists \tilde z = \tilde a + \tilde b \in A +B,~a+b-2\varepsilon < \tilde a + \tilde b \leq a +b)}\texttt{ : caractérisation de sup(A+B)}

\texttt{D'où le résultat.}
________________________________________________
Plus généralement, avec la définition pure du sup : c'est plus délicat.

On se place dans un groupe ordonné (G,+,\leq) quelconque pour lequel + et \leq sont compatibles.

Soit X,X' \subset G tels que M = \sup(X),~M' = \sup(X') existent. Alors :

(\forall x \in X)[(x \leq M) \text{ et }(\forall g \in G)(x \leq g \Rightarrow M \leq g)]

(\forall x' \in X')[(x' \leq M') \text{ et }(\forall g' \in G)(x' \leq g' \Rightarrow M' \leq g')] donc :

(\forall z \in X + X',~z \leq M + M') \Rightarrow \textbf{ si } M'' = \sup (X + Y) \text{ existe, alors } M'' \leq M + M'

Pour continuer, je pense qu'il faut promouvoir G au rang d'un corps archimédien. Ce qui permet de parler de 1/n et donc d'embrayer avec la fin de la démonstration comme sur \R.

Donc  en gros, pour continuer, il faut se placer à minima dans  \Q (ou tout autre corps de caractéristique nulle, (totalement (?)) ordonné; les corps de caractéristique non nulle ayant des soucis avec les relations d'ordre)

Posté par
etniopal
re : Démontrer que Sup(A+B) = Sup(A)+Sup(B) 05-04-18 à 22:42


On travaille dans E :=   { } où on prolonge l'addition  et l'ordre en  posant : x +   =       + x =   et  x <    pour tout x de   .

Toute partie non vide de  E y a donc une borne supérieure  et on vérifie que :

1.Pour toute partie non vide X de E  et tout y de E on a : Sup(y + X) = y + Sup(X)

2.Pour toute famille non vide  ( Xj )jJ  de parties non vides  de E  on a :
Sup( Xj ) = Sup{ Sup(Xj ) │ j J }  

Conséquence :
Si A et B sont  des parties non vides   de E , en considérant la famille  (a + B)aA dont la réunion est A + B on obtient :

Sup(A + B) = Supa(Sup(a + B)) = Supa( a + Sp(B)) =  Sup(B) + Sup(A) .

Posté par
lafol Moderateur
re : Démontrer que Sup(A+B) = Sup(A)+Sup(B) 06-04-18 à 22:27

Bonjour

pauvre hiz, qui a dû attendre six ans et demi pour avoir une réponse ....

Posté par
jsvdb
re : Démontrer que Sup(A+B) = Sup(A)+Sup(B) 06-04-18 à 22:51

Tout vient à point à qui sait attendre ...

Posté par
matheux14
re : Démontrer que Sup(A+B) = Sup(A)+Sup(B) 01-10-21 à 01:37

Bonjour, j'ai pas compris pourquoi on devrait montrer que sup A +sup B est le plus petit majorant de A+B...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démontrer que Sup(A+B) = Sup(A)+Sup(B) 01-10-21 à 07:24

Bonjour,
Quelle est la définition de Sup(E) où E est un sous ensemble de ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démontrer que Sup(A+B) = Sup(A)+Sup(B) 01-10-21 à 07:29

Par ailleurs, dans la seconde partie du 1er message (celui de infophile), il manque des "pour tout ... dans ...".



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