Bonsoir
J'aimerais bien que quelqu'un vérifie et critique ce que j'ai fait pour cet exo :
Bien vu!
Moi, j'aurais démontré par l'absurde. Ta démo est plus "naturelle"*
A plus.
A.
*...donc en accord avec le Grenelle de l'environnement.
salut
j'ai une proposition mais je ne sais pas si elle est suffisante
supposant que A et B soient non vides et bornées
soit M1=sup(A) et M2=sup(B)
a A aM1 et
b B bM2
a+b<=M1+M2
donc sup(A+b)=sup(A)+sup(B).
quelques remarques vont etre trés appréciés et merci d'avance.
Bonjour,
Attention, ce qu'a démontré hiz, c'est seulement que .
Mais il y a une démonstration très simple (et très conforme au Grenelle) qui utilise la caractérisation du dans
.
donc
Mais je ne sais pas pourquoi, quand il s'agit de sup, on va toujours chercher midi à quatorze heures.
jsvdb
déjà il faudrait mettre quelque chose en entrée au sujet du epsilon...
d'autre part, dans ton raisonnement, tu ne fais que montrer qu'il existe des éléments de A+B qui peuvent s'approcher aussi près qu'on veut de a+b ... mais cela ne montre que a+b est le sup de A+B que si on a déjà prouvé avant que sup(A+B)a+b (ce qui d'ailleurs est à peu près évident mais qui nécessite un "quels que soient un élément de A et un élément de B")
mm
cela dit, une fois établit que sup(A+B)sup(A)+sup(B), on peut aussi utiliser la caractérisation avec des suites..
une certaine suite (an) de A (resp (bn) de B) tend vers a=sup(A) (resp b=sup(B))
donc la suite (an+bn) de A+B tends vers a+b ... et le tour est joué
mm
salut
oui il manque des quantificateurs ...
c'est très rapide avec les suites (mais moins ""universel"")
ce qui est vrai pour tout e > 0 est vrai pour e_n = 1/n et alors le a~ de jsvdb est le a_n de MM
On travaille dans E := { } où on prolonge l'addition et l'ordre en posant : x + = + x = et x < pour tout x de .
Toute partie non vide de E y a donc une borne supérieure et on vérifie que :
1.Pour toute partie non vide X de E et tout y de E on a : Sup(y + X) = y + Sup(X)
2.Pour toute famille non vide ( Xj )jJ de parties non vides de E on a :
Sup( Xj ) = Sup{ Sup(Xj ) │ j J }
Conséquence :
Si A et B sont des parties non vides de E , en considérant la famille (a + B)aA dont la réunion est A + B on obtient :
Sup(A + B) = Supa(Sup(a + B)) = Supa( a + Sp(B)) = Sup(B) + Sup(A) .
Bonjour, j'ai pas compris pourquoi on devrait montrer que sup A +sup B est le plus petit majorant de A+B...
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