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Démontrer une inégalité avec racine 7ième

Posté par
Nijiro
18-11-20 à 12:14

Bonjour,

a) Montrer que pour tout x de ]0;1[: x^{\frac{6}{7}}>x (je l'ai déjà démontré en résolvant l'inéquation: x^{\frac{6}{7}}-x>0 (j'ai posé X^7=x))

b) En déduire que pour tout (x;y)(*+)2: \sqrt[7]{x^6}+\sqrt[7]{y^6}>\sqrt[7]{(x+y)^6}

J'ai essayé de déterminer le signe de la différence des deux termes mais ça se complique..

J'ai pensé à poser x=\frac{1}{\alpha } \text{ et } y= \frac{1}{\beta } \text{ avec } (x;y)\in ([1;+\infty [)^2 \text{ et } (\alpha ;\beta )\in ]0;1]^2

x+y>\sqrt[7]{(x+y)^6}\Leftrightarrow \frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }>\sqrt[7]{(\frac{\alpha +\beta }{\alpha \beta })^6}\Leftrightarrow \frac{\alpha +\beta }{\alpha \beta }>\frac{\sqrt[7]{(\alpha +\beta )^6}}{\sqrt[7]{(\alpha \beta )^6}}\text{ d'ailleurs: } \alpha +\beta < \alpha ^{\frac{6}{7}}+\beta ^{\frac{6}{7}} \text{ (question a) ; donc: } \alpha ^{\frac{6}{7}}+\beta ^{\frac{6}{7}}>\sqrt[7]{\alpha \beta }\sqrt[7]{(\alpha +\beta )^6}

Mais ça donne pas vraiment un résultat, car je ne sais pas comment  débarrasser de \sqrt[7]{\alpha \beta } à droite de l'inégalité et de plus (;)]0;1]2 alors qu'à propos des (x;y)[1;+[2...

Merci d'avance ^^.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Démontrer une inégalité avec racine 7ième 18-11-20 à 13:22

Bonjour, je te donne une piste mais je ne suis pas sûr que ça soit la solution la plus rapide.

on peut sans changer la généralité du problème supposer que y > x ( x et y jouent des rôles symétriques donc si y < x on intervertit les deux variables)

si on divise l'inégalité à démontrer par y ^(6/7) et qu'on pose z = x/y elle devient :

z6/7 + 1 > (z+1)6/7 et z 1 (mais on ne s'en sert pas)

et maintenant il suffit d'étudier la fonction f(z) = z6/7 + 1 - (z+1)6/7
on montre facilement que la dérivée est positive et comme f(0)=0 on en conclut que la fonction est positive.

Mais c'est vrai que dans cette démonstration on utilise pas le b) donc je ne suis pas sûr que ça soit ça qui est attendu par l'énoncé. il doit y avoir plus direct.

Posté par
alb12
re : Démontrer une inégalité avec racine 7ième 18-11-20 à 13:42

salut,
je pense avoir repondu ici Puissance rationnelle mais il faudrait relire pour confirmer

Posté par
Glapion Moderateur
re : Démontrer une inégalité avec racine 7ième 18-11-20 à 14:06

ha oui OK, merci alb12, on peut conclure plus vite sans étudier la fonction
z6/7 + 1 > z + 1 d'après le a) parce que (z<1)
et z + 1 > (z+1)6/7 parce qu'on sait que là on est après 1 et qu'on a aussi démontré au a) que x > x 6/7 si x > 1 (il faut l'avoir fait)

Posté par
Nijiro
re : Démontrer une inégalité avec racine 7ième 19-11-20 à 13:57

Salut,
C'est compris ^_^. Merci infiniment Glapion et alb12!! ^^.

Posté par
carpediem
re : Démontrer une inégalité avec racine 7ième 19-11-20 à 14:14

de rien

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démontrer une inégalité avec racine 7ième 19-11-20 à 14:24

Bonjour,
Je propose une solution qui me semble plus simple :
Avec \; X = x/(x+y) \; et \; Y = y/(x+y) , on a X et Y dans ]0;1[.
D'après 1), \; X6/7 + Y6/7 > X+Y .
Ce qui donne l'inégalité demandée.

Posté par
alb12
re : Démontrer une inégalité avec racine 7ième 19-11-20 à 14:58

plus court en effet

Posté par
Glapion Moderateur
re : Démontrer une inégalité avec racine 7ième 19-11-20 à 15:36

ha oui bravo Sylvieg , effectivement c'est plus court et beaucoup plus dans l'esprit de l'énoncé.

Posté par
Nijiro
re : Démontrer une inégalité avec racine 7ième 19-11-20 à 17:20

Oui, elle est plus simple et plus courte. Merci beaucoup Sylvieg ^_^!!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démontrer une inégalité avec racine 7ième 19-11-20 à 17:28

De rien



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